【文章內(nèi)容簡介】 ?的特解是 xmxxxmxxxmxxpppp exxeeexxeeexxee?????????111,,,22221111????????， 并且該特解構(gòu)成 039。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn ?在區(qū)間 ),( ???? 上的基本解組。 例 2 解初值問題 ??? ???? ?? 1)0(,0)0()0()0( 039。39。39。39。39。39。)4(yyyy yy 解 特征方程是 0)1)(1(1 224 ????? ??? ，特征根是 .,1i?? 所以方程的通解是 .s i nc o s 4321 xcxcececy xx ???? ? 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 8 又因為 ,c o ss i n 432139。 xcxcececy xx ???? ? ,s i nc o s 432139。39。 xcxcececy xx ???? ? ,c o ss i n 432139。39。39。 xcxcececy xx ???? ? 根據(jù)初始條件，得 ???????????????????1000421321421321cccccccccccc 再解方程組，得 21,0,41,41 4321 ?????? cccc 于是初值問題的解是 xeey xx s in21)(41 ??? ? 高階常系數(shù)線性非齊次方程 對于 n階常系數(shù)線性非齊次方程 ? ? ? ? )(039。111 xfyayayay nnn ????? ?? ? （ 23） 他的通解等于齊次方程的通解再加上加其對應(yīng)的非 齊次方程的一個特解。在上一節(jié)中我們知道了怎樣求解齊次方程的通解，下面我們主要來研究求解非齊次方程的特解的方法。 常數(shù)變易法 常數(shù)變易法 實際上是一種變量變換的方法 ,在這里我們 簡單的介紹一下 在 n階方程中的應(yīng)用。 可以設(shè)方程（ 23）的特 解是： )()()()()()()(~ 2211 txtctxtctxtctx nn???? ? (24) 其中 nici ,2,1, ?? 是待定的 常函數(shù)。并且把它代入到方程 (23)中 ,再附加上 n1個條件 ,就可以得到 方程組 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 9 ???????????????????????????????)()()()(0)()()(0)()()(0)()()(39。)1(39。2)1(239。1)1(139。)2(39。2)2(239。1)2(139。39。39。239。239。139。139。39。2239。11tftcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxnnnnnnnnnnnnnn?????? （ 25） 解方程 組 (25)就會得到關(guān)于 )(,),(),( 21 tctctc n??? ? 的表 達(dá)式 ,把它們分別進(jìn)行 積分進(jìn)而得 到 nici ,2,1, ?? ,再把它 們代入到 (24)式中 ,繼而求得方程（ 23）的一個特解 )(~tx 。 由于這種方法 對于自由項 )(tf 的形式?jīng)]有任何的限制 ,因此使用的范圍會比較廣 ,但是求解的工作量相對來說會大一些。 例 3 求解 方程 的通解 ,已知 它所對應(yīng)的齊次線性微 分方程的基本解組是 tt sin,cos 。 解 運(yùn)用常數(shù)變易法 ,設(shè) ttcttcx s in)(c o s)( 21 ?? 并且把它代入到方程里 ,就可以得到關(guān)于 )(139。 tc 和 )(239。 tc 的兩個方程 0s in)(c o s)( 239。139。 ?? ttcttc 和 tttcttc c os1)(c os)(s in 39。239。1 ??? 解得 tttc cossin)(39。1 ?? , 1)(239。 ?tc 據(jù)此得到 2211 )(,c o sln)( ?? ???? ttcttc 所以原方程的通解是 ttttttx s i nc oslnc oss i nc os 21 ???? ?? 其中 21,?? 是 任意的常數(shù)。 txx cos139。39。 ??哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 10 比較系數(shù)法 對于常系數(shù)非線性方程（ 23） ,我們通常采用的方法是比較系數(shù)法 ,它是把所要求解的微 分方程的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題 ,在自由項是 ? ? tntm etttptfetptf ???? ??? s i n)(ptc os)()()()( s或 (其中 )(),(),( tptptp snm 分別是 m 次 ,n 次 ,s 次的多項式。 ??? , 都是實常數(shù) )時 ,就可以確定特解 x~ 的形式 ,即分別令 tmk etQtx ?)(~ ? )(( tQm 是一個待定的 m 次的多項式 ,k 是方程 )()2(2)1(1)( tfxpxpxpx nnnn ????? ?? ?的特征方程有根 ? 時 ? 的次數(shù) )或者 ? ? tmmk ettQttQtx ??? s i n)(c o s)(~ )2()1( ?? (其中 ? ? )(),(.,max )2()1( tQtQsnm mm? 是兩個待定的 m 次多項式 ,k 是方程含有根 t??? 的次數(shù) )然后把它代入到方程（ 23）中 ,再進(jìn)行比較等式的左右兩邊同次冪的系數(shù)來確定待定系數(shù)多項式。再根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)便可以求解出方程的通解。 例 4 求方程 )5(3 39。39。39。39。39。 ???? ? texxx t的通解。 解 特征方程 0)1(133 323 ?????? ???? 有三重根 13,2,1 ??? ,所對應(yīng)的齊次方程的通解是 tetctccx ???? )( 2321 并且方程有 teBtAtx ??? )(~ 3 的特解 ,將它代入到方程中得 )5()246( ??? ?? teeBtA tt 再比較兩邊的系數(shù)求得 241,65 ??? BA 進(jìn)而 tettx ??? )20(241~ 3 所以所求的方程的通解是 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 11 tt ettetctccx ?? ????? )20(241)( 32321 其中 321 , ccc 是任意的常數(shù)。 拉普拉斯變換法 根據(jù)積分 dttfesF st )()( 0?? ?? 所定義的確定在復(fù)平面（ ??sRe ）上的復(fù)變數(shù) s 的函數(shù) )(sF ，叫做函數(shù) )(tf 的拉普拉斯變換，其中 )(tf 在 0?t 上有定義，并且滿足不等式 tMetf ??)( 在這里 ?,M 是某兩個正常數(shù) 。我們把 )(tf 稱為原函數(shù)，而把 )(sF 稱為象函數(shù)。 設(shè)所給定的微分方程 )(111 tfxadt xdadt xd nnnnn ???? ?? ? （ 26） 和初始條件 )1(0)1(39。039。0 )0(,)0(,)0( ?? ??? nn xxxxxx ? 其中 naaa , 21 ? 是常數(shù)，而 )(tf 是連續(xù)的并且滿足原函數(shù)的條件。 可以證明，假如 )(tx 是方程（ 21）的任意解，則 )(tx 以及它的各階的導(dǎo)數(shù)),2,1)(()( nktx k ?? 都是原函數(shù)。記 ? ? dttfetfsF st )()()( 0?? ??? ? ? ? dttxetxsX st )()()( 0?? ??? ? 那么，根據(jù)原函數(shù)的微分性質(zhì)就有 ? ? 039。 )()( xssXtx ??? ? ? )1(039。0201)( )()( ??? ????? nnnnn xxsxssXstx ?? 于是，再對方程（ 26）的兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并且運(yùn)用線性性質(zhì)就可以得到 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 12 ? ?? ?)()()()()(01)2(039。030211)1(0)2(039。0201sFsXaxssXaxxsxssXsaxsxxsxssXsnnnnnnnnnnn???????????????????????????? 即 )1(039。0231201211111)()()()()(????????????????????????nnnnnnnnnnnxxasasxasassFsXasasas???? 或者 )()()()( sBsFsXsA ?? 其中 )(),( sBsA 和 )(sF 都是已知的多項式，由此得到 )( )()()( sA sBsFsX ?? 這就是方程（ 26）所滿足所給初始條件的解 )(tx 的象函數(shù)。而 )(tx 可以直接查表或者根據(jù)反變換公式計算求解出來。 例 5 求方程 133 39。39。39。39。39。39。 ???? xxxx 的滿足初始條件 0)0()0()0( 39。39。39。 ??? xxx 的解。 解 對方程的左右兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換得到 ssXsss 1)()133( 23 ???? 由此得到 3)1( 1)( ?? sssX 再把上面式子的右面分解成為部分分式 323 )1( 1)1( 111