二階常微分方程的解法及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-09-30 17:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 t ? ,而且它們是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的 .這樣一來(lái) ,特征方程的k 重零根就對(duì)應(yīng)方程 的 k 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解 1, 21, , , kt t t ? .如果這個(gè) k 重根 1 0?? ,我們作變量變換 1tx ye?? ,注意到 11( ) ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( 2 )1 1 1( 1 )() 2!ttm m m m m mmmx y e e y m y y y?? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ?????， 可得 ? ?1 1 11111()nnt t tnnnd y d yL y e b b y e L y ed t d t? ? ?? ??? ? ? ? ? ???, 于是對(duì)應(yīng)方程 化為 ? ? 111 1 0nnnd y d yL y b b yd t d t??? ? ? ? ?, 其中 1 2 3, , , , nb b b b 仍為常數(shù) ,而相應(yīng)的特征方程為 111( ) 0nn nnG b b b? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?, 直接計(jì)算易得 1 1 1 1( ) ( ) ( )11( ) ( )tt t t tF e L e L e e G e? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ??? ??? ? ? ?????, 因此 1( ) ( )FG? ? ??? , 從而 1( ) ( )jjFG? ? ??? ， 1,2, ,jk? , 這樣 ,問(wèn) 題就化為前面討論過(guò)的情形了 . 常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法 ,常應(yīng)用于一階線(xiàn)性微分方程的求解。 在常 數(shù)變易法中， 通過(guò) 將常數(shù) C 放入 ? ?XU 當(dāng)中 就可以得到非齊次線(xiàn)性方程的通解。它是拉格朗日十一年的研究成果，我們所用僅是他的結(jié)論，并無(wú)過(guò)程 。 它是連接非齊次線(xiàn)性微分方程與相應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程的橋梁。 對(duì)于二階常系數(shù)非線(xiàn)性常微分方程的解法 ,只要先求出其一個(gè)特解 ,再運(yùn)用特征方程法求得方程的通解 . 求常微分方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的通 解 . 解 方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?對(duì)應(yīng)齊次方程為 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?, 其特征方程為 02 ??? qp?? . 由于方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和，而二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的通解我們已經(jīng)研究過(guò)了 ,所以此處只需求出其一個(gè)特解 . 若 ? 為上面方程的實(shí)根 ,則 txe?? 是方程 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?的解 .由常數(shù)變易法設(shè) 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的一個(gè)解為 * ()tx c t e?? ,代入原方程并化簡(jiǎn)得 39。( ) ( 2 ) ( ) ( )tc t p c t e f t?? ?? ? ?, 這是關(guān)于 39。()ct的一階線(xiàn)性微分方程 ,其一個(gè)特解為 ? ?( 2 ) ( )( ) ( )p t p tc t e e f t d t d t??? ? ???? ????, 從而得上面方程的一個(gè)特解為 * ( 2 ) ( )( ( ) )t p t p tx e e e f t d t d t? ? ?? ? ???? ????. 若 ? 為上面方程的復(fù)根 ,我們可以設(shè) ,a bi a b R? ? ? ?且 0b? ，則* sinatx e bt? 是方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的解，根據(jù)常數(shù)變易法可設(shè)其一個(gè)特解為 * ( ) sinatx c t e bt? ，與情形 1 的解法類(lèi)似得方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的一個(gè)特解為 ( 2 ) ( 2 )*2( ) s i ns i n .s i np a p a tat e f t e b td tx e b t d tbt? ? ?? ?? 由于 *x 是特解 ,則積分常量可以都取零 . 拉普拉斯變換法 拉普拉斯變換 法 是 工程數(shù)學(xué) 中常用的一種 積分變換 法 ，又名拉氏轉(zhuǎn)換 法 。拉氏變換 法 是一個(gè) 線(xiàn)性變換 法 ，可將一個(gè)有 因 數(shù)實(shí)數(shù) )0( ?tt 的函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè) 因 數(shù)為復(fù)數(shù) s 的函數(shù)。有些情形下一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得 實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解 線(xiàn)性微分方程 尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的 代數(shù)方程 來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì) 控制系統(tǒng) 的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用 傳遞函數(shù) 代替常系數(shù)微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀(guān)和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。 常系數(shù)線(xiàn)性微分方程可以應(yīng)用拉普拉斯變換法進(jìn)行求解，這往往比較簡(jiǎn)單。 由積分 ( ) ( )0 stF s e f t dt???? ? . 所定義的確定于復(fù)平面（ Re?? ）上的復(fù)變數(shù) s 的函數(shù) ()Fs,稱(chēng)為函數(shù) ()ft 的拉普拉斯變換 ,我 們稱(chēng) ()ft 為原函數(shù) ,而 ()Fs稱(chēng)為像函數(shù) . 拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線(xiàn)性微分方程轉(zhuǎn)換成復(fù)平面 s 的代數(shù)方程 .通過(guò)一些代數(shù)運(yùn)算 ,一般地再利用拉普拉斯變換表 ,即可求出微分方程的解 .方法十分簡(jiǎn)單方便 ,為工程技術(shù)工作者所普遍采用 .當(dāng)然 ,方法本身有一定的局限性 ,它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)。 求解方程 2 39。2 2 , (1 ) (1 ) 0td x d x x e x xd t d t ?? ? ? ? ?. 解 先使 1t??? ，將問(wèn)題化為 2 ( 1 ) 39。2 2 , (0 ) (0 ) 0td x d x x e x xd t d t ??? ? ? ? ?, 再對(duì)新方程兩邊作拉普拉斯變換 ,得到 2 11( ) 2 ( ) ( ) 1s X s
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