畢業(yè)論文正文(常微分方程積分因子法的求解)(編輯修改稿)
2024-07-19 12:29 本頁面
【文章內容簡介】 第五階段是20世紀30年代直至現(xiàn)在, 是常微分方程全面發(fā)展的階段。 恰當微分方程恰當微分方程可通過積分求出它的通解,但并非所有的微分方程均為恰當微分方程。如果能將一個非恰當微分方程化為恰當微分方程，則求其通解將變得簡單。為此本文尋求微分方程各類積分因子,化微分方程為恰當方程求解，這樣給解題帶來很大的方便。第2章 積分因子的存在性 各種形式積分因子存在的充要條件定義 對于一階微分方程 如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得為一恰當微分方程，即存在函數(shù)U，使得，則稱為方程的積分因子。引理 函數(shù)為方程的積分因子的充要條件是。積分因子的形式各異，以致積分因子存在的充要條件將形式各異。下面給出不同形式的積分因子存在的充要條件。結論1 方程有只與有關的積分因子的充要條件是，且積分因子為。結論2 方程有只與有關的積分因子的充要條件是，且積分因子為。結論3 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子為。證明 令，則，假設為方程的積分因子，則由引理有充要條件，所以，所以，當且僅當，時可以解出，故方程有形如的積分因子的充要條件是。結論4 方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。證明類似結論3的證明。結論5 方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。證明 ，則，假設為方程的積分因子，則有充要條件，所以，所以，當且僅當時,可以解出,故方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。結論6 方程有形如的積分因子的充要條件是，且有積分因子。證明 令，則，假設是方程的積分因子，則由引理有充要條件：，所以，從而，時，可以解出，得方程 有形如的積分因子的充要條件是，即可得積分因子。結論7 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。證明類似結論3 的證明。結論8 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。證明 令，則有，假設是方程的積分因子，則由引理有充要條件：，所以，所以，當且僅當時可以解出。故方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。結論9 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。證明 令 ，則，假設是方程的積分因子，則由引理有充要條件，所以，，當且僅當時可以解出,故方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。 幾種常見類型的微分方程的積分因子根據(jù)以上結論易得出下列常見的微分方程積分因子結果。命題1 可分離變量方程，有積分因子。命題2 齊次方程有積分因子。命題3 齊次方程，當時有積分因子。命題4 Bernoulli方程，有積分因子。第3章 積分因子求法的推廣微分方程積分因子求法的推廣主要寫了幾類特定微分方程的積分因子的求法，極大的提高了我
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