常微分畢業(yè)論文-一階微分方程最基本兩種類(lèi)型(編輯修改稿)
2025-07-09 12:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解 . ③當(dāng) 12,cc不全為零時(shí) ,但 02211 ??? ba ba ,即2121 bbaa ? ,令變換 ??? ?? ??00yYy xXx 其中 0x , 0y 是待定常數(shù)（即兩直線的交點(diǎn)） ,可將方程化為關(guān)于 X與 Y的齊次方程 )(2211 XYgYbXa YbXadXdY ???? 求解 ,最后代回原變量即可得原 方程的解 . 例 3 求微分方程31?? ??? yx yxdxdy 的通解 . 解 :解方程組 1030xyxy? ? ??? ? ? ?? 得 12xy??? ?? 現(xiàn)令 12xXyY???? ???代入 1030xyxy? ? ??? ? ? ??則有 dY X YdX X Y?? ? ,再令 Yu X? ,即 Y uX? ,則dY X YdX X Y?? ? ,化為 2112dX u duX u u?? ?? 兩邊積分得 22 1ln ln 2 1X u u c? ? ? ? ?因此 122( 2 1) cX u u e? ? ? ?. 5 記 1 2cec??并代回原方程有 22 2( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )y x y x c? ? ? ? ? ? ? 容易驗(yàn)證 2 2 1 0uu? ? ? 也 為 原 方 程 的 解 . 因 此 方 程 的 通 解 為222 6 2y xy x y x c? ? ? ? ?,其中 c 為任意常數(shù) . 伯努利微分方程 形如 ( ) ( ) ndy P x y Q x ydx ?? 這里的 )(),( xQxP 是 x 的連續(xù)函數(shù) , 1,0?n 是常數(shù) . 解法：對(duì)于 0y? , 用 ny? 乘 ( ) ( ) ndy P x y Q x ydx ??兩邊 , 得到1 ( ) ( )nndyy y P x Q xdx???? 引入變量變換 1nzy?? ,從而 (1 ) ndz dynydx dx??? . 得到 (1 ) ( ) (1 ) ( )dz n P x z n Q xdx ? ? ? ?, 這是一個(gè)一階線性微分方程 ,可套用一階線性微分方程的通解公式進(jìn)行求解 . 例 4 求微分方程 3422dy x ydx x y? ?的通解 . 解 :將原方程變形為 33242212 ????? xyxyyx yxdydx,即221 ??? xyxydydx,這是 3??n 的伯努利方程 . 令 4xz? ,得一階線性方程 yzydydz 22 ??,由公式得 )ln2()12()2( 22222 CyyCdyyyyCdyeyez dyydyy ???????? ?? ?， 故通解為 yyCyx ln2 224 ?? . 從上述可以看出齊次微分方程、可化為齊次的微分方程、伯努利微分方程都有著固定的解法 ,因此可以看作基本類(lèi)型的方程 ,其他一階微分方程只要能通過(guò)變量變換轉(zhuǎn)化成上述基本類(lèi)型 ,就可求出通解 . 6 里卡蒂（ Riccati）微分方程 形如 2( ) ( ) ( )dy P x y Q x y R xdx ? ? ?,這里 )()()( xRxQxP 、 為連續(xù)函數(shù) . 這種類(lèi)型的方程一般沒(méi)有初等解法 ,只有當(dāng)能夠找到方程的一個(gè)特解 ()yx? ,在經(jīng)過(guò)變換 y z y??? 后方程就變?yōu)椴匠?,因而可解 . 例 5 求解 微分 方程 239。 ( 1 ) (1 2 )y x y x y x? ? ? ? ?. 解 :由觀察得到它的一個(gè)特解為 1?y，故設(shè)它的任一個(gè)解為 zy ??1，于是 2)1( zxzdxdz ???? ，這是 n=2 的 伯 努 利 方 程 ， 兩 邊 同 除 以 2z得：)1(112 ???? xzdxdzz 即 )1(11xzdxzd ??? 從而 ))1((1 cdxexez dxdx ????? ? ? xxx cexcxee ???? ? )( 故原方程的解為 xcexzy ????? 111 根據(jù)方程的特點(diǎn)尋求恰當(dāng)?shù)淖儞Q 例 6 求微分方程 225262 2 yxxy xydxdy ??? 的通解 . 解 :方程可變形為：22233 2 2)(31 xx xydxdy ??? ， 注意到變量 y 以 3y 整體出現(xiàn)， 故可 令 3uy? ,則方程可變形為 1263263 22222??????xuxuxxuxudxdu , 這是齊次方程 ,再令 uv x? 即 u vx? ,則上面方程化為 23621dv vxvdx v ?? ? ? ?, 整理得 735 3 5 2dv dv dvv v x? ? ? ???,兩邊同時(shí)積分 , 得 7 3 5( 3 ) ( 2)v v c x? ? ? ?,c 為任意常數(shù) .代入 uv x? ,并且化簡(jiǎn)得原方程的解為 3 7 3 15( 3 ) ( 2 )y x y x c x? ? ? ?.c 為任意常數(shù) . 7 例 7 求微分方程 23ydy e xdx x??的通解 . 解 :令 yue? ,則 ydu dyedx dx??,代入原方程 ,得 223du u xudx x??, 這是一個(gè) 2n? 時(shí)的伯努利微分方程 .令 1zu?? ,算得 2dz duudx dx??? ?.代入上面的方程 ,得231dz zdx x x?? ?.因此有該方程的通解為 33()21()d x d xxxz e e d x cx? ? ?? ? ? ? ?,計(jì)算化簡(jiǎn)得
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