【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 人⑵式得特解：y = x?/2, ?2dp/dx + 1 = 0,積分得V = a?/2 + c,代入(2)式得通解：y = {x/2 + c)? — x?/2.6) y = xy39。 + y39。 —M39。是Clairaut方程，故通解為y = ca。 + c c2，兩邊再關(guān)于c求導(dǎo)得，0 = a。 + 1 2c，即c = Or + l)/2,代入通解表達(dá)式得特解y = (x + 1)2/4.7) y39。2 + 2xy39。 + 2y = 0解：引進(jìn)參數(shù)p = y39。，方程可寫成參數(shù)形式2/39。 = P, ⑴1 2y = xp p , (2)為消去變量y,將⑵式對(duì)a；求導(dǎo)后減去（1)式，得P，與a。的微分方程一?一；??39。一一? = 0，?盧0時(shí)，將它改寫成以?為自變量的線性方程 daj/dp = x/{2p) 1/2，它的通解是 x = c(177。p)~?/? p/3,代入⑵得參數(shù)形式的通解 a； = C(士p)i/2 — p/3, y =干c(土p)i/2 — p2/ p = o時(shí)，得特解y = o.8) + y39。2 = 1ftf：令a：； = sini，t e [7r/2,7r/2],得參數(shù)形式的微分方程X = sint, y39。 = 土 cosi，消去 a:: dy = y39。dx = 土 cos?idt，積分得參數(shù)形式的通解：X = sint, y = 177。[2i + sin(2i)]/4 + c.9) y39。3 + y3 — gyy39。 — 0解：令y = y39。t,代入方程得y39。 = 0或y39。 = 3t/(l + (3)，從前者得特解y = 0，從后者得參數(shù)方程組V = 3tV(l +力3)，y39。 = 3t/(l + i3)，再由dx = dy/y39。 = (1 + t?)/(3t) dy = [1 + 3/(1 + t?)] dt=[1 + 1/(1 + t)it l/2)/(i2t+l) + 3/(2(?2 t + 1))] dt.積分得參數(shù)形式的通解：a。 = —t + In177。 (1 + t)arctan (亡廠）+3?21 + t310) y = exp(y39。)y39。2解：引進(jìn)參數(shù)P = y39。，方程可寫成參數(shù)形式= p, ⑴y = exp(p)p2. (2)為消去變量y，將⑵式對(duì)a；求導(dǎo)后減去（1)式，得P，與a。的微分方程故(exp(p)p2 + 2pexp(p))p39。 p = 0,整理得 p(l exp(p)(2 + p)p39。) = 0，由P = 0, iXA (2)式得特解 y = 0，由（1 exp(p)(2 + py) = 0 得參數(shù)形式的通解X = (p + 1) exp(p) + c, y = exp(p).⑷ 0在(0, +oo)上連續(xù)且/ (x) j /⑷di = 1, a。〉0，試求/⑷的表達(dá)式. 1 176。Jo J [x)—p ((:))，積分得/2 (x) = 2$ + c,代入原方程得c = 0，故/⑷=解：將方程化為f f {t) dt = 兩邊對(duì)a；求導(dǎo)得：f{x)=:39。(0)存在，試求滿足, 、 X (t) X (5)的函數(shù)a。⑴.解：令t = 0，S = 0，得 a。 (0) = 0，因此,/、 X (t+ s) — X (t)=[1 + ?⑷]1? s[lxit)x (s)].=[1 +趣]!宇=[l + ⑷](0)即；滿足微分方程a/⑷=x39。 (0) [l + a:2⑷]，積分得arctan(x) = a/(0)t + c,艮fl x (t) = tan {x39。 (0) i + c)，再由 a: (0) = 0 得 c = 0，故得戶if條函為a。⑴= tan(。c39。(0)t).，使得在它上面任一點(diǎn)的切線介于坐標(biāo)軸間的部分被切點(diǎn)所平分.解：設(shè)在直角坐標(biāo)系o:Oy中曲線的方程為y = y{x),在點(diǎn)Or,y⑷)的切線與a；軸，y軸組成的三角形中，由題意三角形的高等于2|y|，底等于2|4因此a。? = y,積分得ajy = C，C / 0.⑴在（oo,+oo)上連續(xù)，x{t):39。(0)存在，且滿足條件a。(i + S) = x{t)x{s),試求ib函數(shù).解：令 t = 0，S = 0，得 a。(0) = 0，或 a。(0) = 1，可見當(dāng)。r(0) = 0 時(shí)，x{t) = x{t)x{0) = 0，故只考慮 a。(0) = 1 的情況，/ /、 ， x(t s) — X (t) ,、 X (s) — 1 ,、X (t) = lim= X (t) lim= X (0) x (t),s—O S s—O S即a。⑴滿足微分方程a：39。⑷=x39。 {0)x{t),積分x{t) = ce? (D)t，再由a。(0) = 1得c = 1，故所求函數(shù)為⑷=e々0)t M {x,y) dx+N{x,y) dy = 0 具有形為 pO177。y)，/u(xy),的積分因子的充要條件.答：因?yàn)?M(。r,y) dx + N{x,y) dy = 0 具有形如 /x((/9 0r,y))的積分因子的充要條件是：(:e177。y)，II (xy), /x (a:2 177。 y2)的積分因子的充要條件是My — Nx My — Nx My — Nx A 口 ii /x7 曰 _L 2 I 2數(shù).11. ?M{x,y),N{x,y)都是。c，y的連續(xù)可微的m次齊次函數(shù)，m ? — (x,y) = xM {x,y) + yN {x,y),證明10咖和1上:w(:)x39。(t) = lim ?IVW 6?M7?x177。y,xy,x 177。y _1) xMx + yMy 三 mM (x, y)， xN? + yNy 三 mN,2?若M (x,y) dx + N {x,y) dy = 0為全—分方程，則其通解為U {x,y) = c.3)/u(a。,?/)=…土 沒)是方程 M (x,y) dx + {x, y) dy = 0 的積分因證：1)因M(a。,y)是。r，y的m次齊次函數(shù)，即對(duì)于任何i〉0，成立恒等式M(te，iy) E嚴(yán)M(。r,y).由M的可微性，兩邊對(duì)i求導(dǎo)，得xM39。i {tx,ty) + yM2 {tx,ty) = mt饑―丄M {x, y),其中 {tx, ty)? {tx, ty)分別表示函數(shù)對(duì)第一、 = 1即,y)的恒等式.2)因m / 1，原微分方程等價(jià)于（1 + m) (Mdx + Ndy) = 0，又因Md。r + 7Vdy = 0為全微分方程，所以My = N工，則 dU = Mdx + Ndy + {xMx + yN?) dx + {xMy + yNy) dy,又因Md。r + 7Vdy = 0為全微分方程，有Mj? = iVi?，所以dU = M (x, y) dx + M (x, y) dy + {xM?； + yMy) dx + {xN? + yNy) dy,再因M(。r,y)，iV(。c，y)都是a。，y的m次齊次函數(shù)，所以由1)得dC/ = (1 + m) (Mdx + Ndy),即 C/(a。, y) = c 是方程的通解.3)由積分因子的定義，只要證明= 0即可.ay ox求導(dǎo)得= —YU (My — N。+ NUf MUyU (2)其中Ux = M + xMx + yNx, Uy = N xMy + yNy, (3)將(3)代入(2)整理得= ?2?? (* + yMy) M {xN, + yNy)] ’（4)再將⑴代入⑷得，U ax = .((i?(a。)，試求出其通解：1) y39。Q工 _j_ — 39。2?yQ? = 1 — 0?? ip(?x39。? = e工解：令y = e174。 + u~\代入方程得未知函數(shù)u的方程u39。 = e?,積分得u = e” + c，因此原方程的通解為y = e” + (e” + c)?2) y39。 + — 2y sin x = cos x — sin? x, ?{x) = sin x :解：$y = sina。 + ?z_i，代入方程得未知函數(shù)??的方程= 1，積分得= a: + c，因此原方程的通解為y = sina。 + (x + c)?3) 4a。2(y — y2) = 1’ 165。?(x) = :解：令y = (2十1 + u\代入方k得未知函數(shù)u的方程u39。 = x?u 1，積分得u = xln(cx),因此原方程的通解為y = —{2x)~? — {xln{cx))~?.11ay4) x?y39。 + (xy — 2)2 = 0， ip{x)=:解：令y = x?+u\代入方程得函數(shù)w的方程v! = xiu+1,積分得u = ；ri(c+a。2/2)，因此原方程的通解為y = x?+x{c+x39。?/2)?.5) y39。 = {x l)y2 + (1 2x)y + x, ip{x) = 1.M令y = 1 + ui,代入。程得未知174。數(shù)U的方程= W + 1 a。，積分得U = e?(c + xe?),因此原方程的通解為y = 1 + (ce? + a。)?.H T T= rx(l), a。(0) = xo / 0, 0〉0,。?/是常數(shù)）at Xf解a:⑴，并算出+lim x{t)的值和說明其實(shí)際意義.解：這是n = 2時(shí)的Bernoulli方程，除了平凡解a: = 0外，其解可寫成形式x{t) = ~、——\ XoJ故可見IhjiOO x{t) = Xf,說明了只要。c(0) + 0，任何解cc趨向平衡態(tài)14*.求出初值問題HA*at的解fc(M)，其中/⑷=akl?為CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)，這里(x〉0，0/31均為常數(shù)：算出koo(s) = lim k{t, s)和時(shí)間無(wú)限增大時(shí)的t—OO人均消費(fèi)Coo(S) = (1 s)/(fcoo(s)),由此求出使得Coo(S)達(dá)到最大值的S值，從而驗(yàn)證資本積累的黃金準(zhǔn)則/39。(fcoo(S)) = p的正確性.解：這是n = /3時(shí)的Bernoulli方程，除了無(wú)實(shí)際意義的平凡解A:三0外為k{t，s) = ki。?I昨 + j(l e(i” .所以 1fcoo(s) = lim k(t, s)=(—),t?OO \ IJ39。 // \ ifCoo{s) = (1 — s)f {koo{s)) = a(l — s) J .求它的最大值可得,當(dāng)s = /?時(shí)取最大值maxcoo(s) = a{lf3) i_，容易驗(yàn)證資本積累的黃金準(zhǔn)則/39。(A?oo⑷）= /U的正確性.15*，當(dāng)賽艇從靜止?fàn)顟B(tài)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出其運(yùn)動(dòng)速度U與時(shí)間t的關(guān)系，并說明其實(shí)際意義.12? = sf(k) Ilk, k(0) = koE—+00t—? +解：記a = (:pA)i/3，則方程可化為「 2 (2u + a) — 3a. . 6ka .u — a + au + m積分并利用初始條件u(0) = 0,得解為u? + au + a? TT .2u + a 6kat丄 II ；77：十“1= — Zy O cirCtciIl( ；= I —.可見，當(dāng)時(shí)，u 4 ，阻力增大，牽引力減少，最終趨于年命，速ik舊于一個(gè)定值a.13[ I ?丄 2