微分方程習(xí)題及答案(編輯修改稿)
2025-07-21 23:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 其中，由得，故特解為（2）.解：原方程可化為令則，故原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分，即得即得，即，又得特解為5． 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡(jiǎn)方程，并求解下列方程（1）；解：令則，原方程變?yōu)椋蛛x變量并積分得故方程通解為（2）解：則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分，即得，得，即，其中故方程通解為（，其中）（3）解：，則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分得故方程通解為（4）解：則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分，得，即其中（分析原方程可變形為，故令）（，其中）6． 求一曲線，使其任意一點(diǎn)的切線與過(guò)切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù).BAP(x,y)解：曲線點(diǎn)P（x, y）的切線方程為： 該曲線與x軸交點(diǎn)記為B，則B坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P（x, y）平行于軸的直線和軸交點(diǎn)記為A，則A坐標(biāo)為故三角形面積為即有微分方程當(dāng)時(shí)用分離變量法解得當(dāng)時(shí)用分離變量法解得7． 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開(kāi)始下落時(shí)速度為0，求物體速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.8． 有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，，試求注射染色后分鐘時(shí)正常胰臟中染色量隨時(shí)間變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？解: t以分為單位,因此,每分鐘正常胰臟吸收40%染色可得通解為: 加以初始 p(0)=,便可求出 p(t)=(30)=然后與實(shí)測(cè)比較知,此人胰臟不正常.，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時(shí)又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問(wèn)一小時(shí)后，容器內(nèi)尚有多少鹽？解：設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)含鹽，由于時(shí)刻容器內(nèi)液體為：100+，因此時(shí)刻容器內(nèi)濃度為：.于是在時(shí)刻鹽的流失速度為：，從而有滿足的方程為：初始化條件為: 167。3 一階線性方程與貝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）；解：法一：常系數(shù)變易法：解齊次方程，分離變量得，積分得，即，其中（注：在常系數(shù)變易法時(shí)求解齊次方程通解時(shí)寫(xiě)成顯式解；其中。設(shè)非齊次方程有解，代入非齊次方程有，即，故，非齊次微分方程的通解法二（公式法）（2）；故（（3）；解：方程變形為故即，其中（4）；解：方程變形為，故即（分部積分法：）（5）解：兩邊同乘得，即，故令，則原方程變?yōu)楣?，即得即原方程通解為（用分部積分法積分）2．求下列微分方程的特解（1）；解： (2)解：3．一 曲線過(guò)原點(diǎn)，在處切線斜率為，求該曲線方程.解：由題意可得：于是：由得，故曲線方程為4．設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足方程，求.解：?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題該微分方程為線性微分方程故又得，故5．設(shè)有一個(gè)由電阻，電感，電流電壓串聯(lián)組成之電路，合上開(kāi)關(guān)，求電路中電流和時(shí)間之關(guān)系.解：由及可得：?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題該微分方程為線性微分方程故又得，故（分部積分法積）6．求下列貝努利方程的通解 (1) 解：原方程變形為，令，則，故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為（2）原方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為（3）解：方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故
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