微分方程習(xí)題及答案(完整版)
【正文】 得其中4． 求下列微分方程的特解（1）；解：原方程化為，令則，故原方程變?yōu)?，分離變量得兩邊積分，即，得其中，由得，故特解為（2）.解：原方程可化為令則，故原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分，即得即得，即，又得特解為5． 用適當?shù)淖儞Q替換化簡方程，并求解下列方程（1）；解：令則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分得故方程通解為（2）解：則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分，即得，得，即，其中故方程通解為（，其中）（3）解：，則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分得故方程通解為（4）解：則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分，得，即其中（分析原方程可變形為，故令）（，其中）6． 求一曲線，使其任意一點的切線與過切點平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù).BAP(x,y)解：曲線點P（x, y）的切線方程為： 該曲線與x軸交點記為B，則B坐標為，過點P（x, y）平行于軸的直線和軸交點記為A，則A坐標為故三角形面積為即有微分方程當時用分離變量法解得當時用分離變量法解得7． 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開始下落時速度為0，求物體速度與時間的函數(shù)關(guān)系.8． 有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，試求注射染色后分鐘時正常胰臟中染色量隨時間變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？解: t以分為單位,因此,每分鐘正常胰臟吸收40%染色可得通解為: 加以初始 p(0)=,便可求出 p(t)=(30)=然后與實測比較知,此人胰臟不正常.，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時后，容器內(nèi)尚有多少鹽？解：設(shè)時刻容器內(nèi)含鹽，由于時刻容器內(nèi)液體為：100+，因此時刻容器內(nèi)濃度為：.于是在時刻鹽的流失速度為：，從而有滿足的方程為：初始化條件為: 167。8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組1． 求下列微分方程的通解 （1）；（2）.2．求下列微分方程組的通解（1）（2） 自測題1． 求下列微分方程的解（1）；解：令則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程，分離變量積分即，得，故原方程通解為（2）；解：原方程變形為伯努力方程令，則化為線性方程故得，故法二：；（3）；；（4）.2．求連續(xù)函數(shù)，使得時有.解：由題意有， 即為線性齊次方程故（注令，則變?yōu)?）3．求以為通解的二階微分方程.4．某個三階常系數(shù)微分方程 有兩個解和，求..5．設(shè)有一個解為，對應(yīng)齊次方程有一特解，試求：（1）的表達式；（2）該微分方程的通解.；6．已知可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式： 求.解：由題意得即分離變量積分得由得，故，即7．已知曲線上原點處的切線垂直于直線，且滿足微分方程，求此曲線方程. 。設(shè)非齊次方程有解，代入非齊次方程有，即，故，非齊次微分方程的通解法二（公式法）（2）；故（（3）；解：方程變形為故即，其中（4）；解：方程變形為，故
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