微分幾何練習(xí)題庫及答案(完整版)
【正文】 時(shí)，極小曲面的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)．第四章122．證明若曲面上有兩族測地線交于定角，則曲面的高斯曲率為零．（高斯曲率；難；10分鐘）【證明】在每族測地線中任取兩條，圍成曲面上的曲邊四邊形．根據(jù)已知條件，曲邊四邊形的外角和為由高斯波涅公式有，．若在曲面上的某點(diǎn)處，不妨設(shè)，則在點(diǎn)的鄰近，從而對于圍繞點(diǎn)的充分小的曲邊四邊形有，得出矛盾，所以，即曲面為可展曲面．123．求證半徑為的球面上測地三角之和為其中為測地三角形的面積．（高斯波涅定理；難；【證明】由高斯波涅公式有．對于半徑為的球面有，所以，其中為測地三角形的面積．124．若曲面的高斯曲率處處小于零，則曲面上不存在圍成單連通區(qū)域的光滑的閉測地線．【證明】設(shè)若存在所述閉測地線，它所圍成的曲面部分為，則由高斯波涅公式．因?yàn)?，則，又后兩項(xiàng)均為0，得出矛盾．所以不存在所述測地線．19。（基本向量、曲率、撓率；中；15分鐘）①求基本向量，；②求曲率和撓率；【解】①由題意有，又由公式有②由一般參數(shù)的曲率公式及撓率公式 有?！窘狻坑汕娴牡谝活惢玖克鶝Q定的量叫曲面的內(nèi)蘊(yùn)量．92．第二基本形式?！段⒎e分幾何》復(fù)習(xí)題 本科第一部分：練習(xí)題庫及答案一、填空題（每題后面附有關(guān)鍵詞；難易度；答題時(shí)長）第一章1．已知，則這兩個(gè)向量的夾角的余弦=2．已知，求這兩個(gè)向量的向量積(1,1,1)． 3．過點(diǎn)且與向量垂直的平面方程為XZ=04．求兩平面與的交線的對稱式方程為5．計(jì)算． 6．設(shè)，求 0 ．7．已知，其中，則8．已知，則9．已知，求，其中，10．已知（為常向量），求11．已知，（為常向量），求 12．已知，則．第二章13．曲線在任意點(diǎn)的切向量為14．曲線在點(diǎn)的切向量為15．曲線在點(diǎn)的切向量為16．設(shè)有曲線，當(dāng)時(shí)的切線方程為17．設(shè)有曲線，當(dāng)時(shí)的切線方程為第三章18．設(shè)為曲面的參數(shù)表示，如果，則稱參數(shù)曲面是正則的；如果是 一一的 ，則稱參數(shù)曲面是簡單的．19．如果曲線族和曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為 正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng) ．(坐標(biāo)網(wǎng)?！窘狻糠Q二次型（其中，）為曲面的第一基本形式．而、叫曲面的第一類基本量．91．內(nèi)蘊(yùn)量。100．圓柱螺線為。另一方面軸的方向向量為，而，故，即主法線與軸垂直．112．證明曲線的所有法平面皆通過坐標(biāo)原點(diǎn)．（法平面；較易；5分鐘）【證明】由題意可得，則任意點(diǎn)的法平面為將點(diǎn)（0,0,0）代入上述方程有左邊右邊，故結(jié)論成立．113．證明曲線為平面曲線，并建立曲線所在平面的方程。則 ?！窘狻渴狗ㄇ蔬_(dá)到極值的方向叫曲面在該點(diǎn)的主方向，而主方向的法曲率叫該點(diǎn)的主曲率．96．高斯曲率。（曲線的概念；易；4分鐘）Ａ ， Ｂ ，Ｃ ， Ｄ ， Ｅ ，79．下列曲線中是正則曲線的有（ABCDE）。（曲線的概念；易；4分鐘）Ａ ， Ｂ ， ?。谩?， Ｄ ， Ｅ ， 80．下列式子正確的是（ABCE）．（伏雷內(nèi)公式；中；4分鐘）?。痢 ? Ｂ Ｃ Ｄ?。拧 危谌?br />
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