微分幾何第四版習(xí)題答案梅向明(完整版)
【正文】 即，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為 ={x,y, f(x)+g(y)},x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標曲線。15．如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。若=0，則L = M = N = 0 ，曲面上的點是平點，若 0,則曲面上的點是雙曲點。試證：旋轉(zhuǎn)曲面上存在等溫網(wǎng)。=0，于是說明球面像上的點(u,v)與區(qū)域D內(nèi)的點一一對應(yīng)，因此曲面(S) 上的點與球面像上的點一一對應(yīng)。 d= d26．兩個曲面、交于一條曲線（C），而且（C）是的一條曲率線，則（C）也是的一條曲率線的充要條件為、沿著（C）相交成固定角。 證法三： ，所以高斯曲率 ，所以0 ，所以曲面上的點是平點或雙曲點。 16．求正螺面的主曲率。={u,u,bv}上的曲率線.解，={0,0,0}，={ucosv,usinv,0}，={sinv,cosv,0},， L=0, M= , N=0,曲率線的微分方程為:,即,積分得兩族曲率線方程:. =axy上的曲率線.解 N=0 . 由=0得,積分得兩族曲率線為..解 M=,N=:: . ,設(shè) L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因 L是曲率線,所以沿L有,又沿L 有?=常數(shù),求微商得,所以,即解 ，={0,0,0},={uucosv,cosv,0},={ucosv,usinv,0},， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN 2FM + GL= 0 .4. 求出拋物面在(0,0)點沿方向(dx:dy)的法曲率.解 ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率. 5. 已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0d1),求與(S)交線的曲率與法曲率.解 設(shè)平面與(S) 的交線為(C), 則(C)的半徑為,即(C)的曲率為,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于,所以(C)的法曲率為=1 .6. 利用法曲率公式,證明在球面上對于任何曲紋坐標第一、第二類基本量成比例。5．求曲面z = axy上坐標曲線x = x ,y =的交角.解 曲面的向量表示為={x,y,axy}, 坐標曲線x = x的向量表示為={ x,y,axy } ，其切向量={0，1，ax}；坐標曲線y =的向量表示為={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，設(shè)兩曲線x = x與y =的夾角為，則有cos = 6. 求u曲線和v曲線的正交軌線的方程.解 對于u曲線dv = 0,設(shè)其正交軌線的方向為δu:δv ,則有Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,將dv =0代入并消去du得u曲線的正交軌線的微分方程為Eδu + Fδv = 0 .同理可得v曲線的正交軌線的微分方程為Fδu + Gδv = 0 .7.
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