【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 i jijca? ???? ? ??? 。111( ) ( )Ln n n i iiT y x y x h k????? ? ? ?其中 它的局部截?cái)嗾`差是 () 2. 2級(jí) 2階 RungeKutta方法 令 L=2，則 1 1 1 2 2()nny y h k k??? ? ? ?3. 經(jīng)典 RungeKutta方法 我們可以構(gòu)造出一族 3級(jí) 3階，一族 4級(jí) 4階和一族 5級(jí) 4 階等 RK方法。最常用的 4級(jí) 4階是如下的 經(jīng)典 RK方法 ： 1 1 2 3 41213243( 2 2 )6( , )( , )22( , )22( , )nnnnnnnnnnhy y k k k kk f x yhhk f x y khhk f x y kk f x h y hk?? ? ? ? ????? ? ? ????? ? ???? ? ??4． RKFehhlberg 方法 RKFehhlberg方法 是在 RK方法的基礎(chǔ)上引進(jìn)誤差和步長(zhǎng) 控制的辦法。即利用 5階 RK法 1 1 2 4 5 61 6 6 6 5 6 2 8 5 6 1 9 21 3 5 1 2 8 2 5 5 6 4 3 0 5 0 5 5iiy y K K K K K? ? ? ? ? ? ?估計(jì) 4階 RK的局部誤差 ， 其中 54311 514 1 0 42 1 9 72 5 6 51 0 4 821625 KKKKyyii ??????)329323,83()41,4(),(213121KKyhxhfKKyhxhfKyxhfKiiiiii????????)401141041859256553442278,2()410485451336808216439,()219772962197720021971932,1312(543216432153214KKKKKyhxhfKKKKKyhxhfKKKKyhxhfKiiiiii??????????????????注： RKFehhlberg比 4階 RK方法具有更大的優(yōu)越性，他是計(jì)算穩(wěn)定，高精度的方法，他的顯著優(yōu)點(diǎn)是，每一步僅需計(jì)算 f的 6個(gè)值；若用 4階 RKL與 5階 RKL在一起使用，則每步需要計(jì)算 f的10個(gè)值。推薦使用！ 5. 隱式 RK方法 類似于顯式 RK公式，稍加改變，就得到 隱式 RK方法 。 11Ln n i iiy y h k????? ?1,Li n i n i i j jjk f x c h y c h a k???? ? ??????它與顯式 RK公式的區(qū)別在于：顯式公式中對(duì)系數(shù)求和的上限是 i1， 從而構(gòu)成的矩陣是一個(gè)嚴(yán)格下三角陣 。而在隱式公式中對(duì)系數(shù)求和的上限是 L， 從而構(gòu)成的矩陣是方陣 ， 需要用迭代法求出 Ki， 。 推導(dǎo)隱式公式的思路和方法與顯式 RK法類似 。 通常 ， 同級(jí)的隱式公式獲得比顯式公式更高的階 。 通常 ， 同級(jí)的隱式公式獲得比顯式公式更高的階 。 常用的隱式 RK法有 : ?????? ???? ?? 2,21 11 nnnnn yyhxhfyy)],(),([2 111 ??? ??? nnnnnn yxfyxfhyy 1 1 21 1 22 1 2()23 3 1 3 2 3,6 4 123 3 3 2 3 1,6 12 4nnnnnnhy y k kk f x h y k h k hk f x h y k h k h??? ? ? ????????? ? ? ?????????????? ? ? ???????1級(jí) 2階中點(diǎn)公式 : 2級(jí) 2階梯形公式： 2級(jí) 4階 RK公式： 在單步法中每一積分步步長(zhǎng)實(shí)際上是相互獨(dú)立的 ， 步長(zhǎng)的 選擇具有了靈活性 。 根據(jù)合理地選擇每一積分步的步長(zhǎng) ， 既保證精度的要求 ， 又可以減少計(jì)算量 ， 從而減小舍入誤 差 。 其方便的控制手段是基于誤差的事后估計(jì)式 。 ?? ?? ??? ? ?對(duì)于給定的精度 ,如果 ,反復(fù)將步長(zhǎng)折半進(jìn)行計(jì)算，直至 為止 ,這時(shí)取最終得到的作為結(jié)果； 如果 ，將反復(fù)將步長(zhǎng)加倍，直到 為止，這時(shí)再將步長(zhǎng)折半一次，就得到所要的結(jié)果。 這種通過(guò)加倍或折半處理步長(zhǎng)的計(jì)算方法稱為變步長(zhǎng)方法。 注 ： 推薦使用精度好計(jì)算量低的變步長(zhǎng)方法。 用四階顯式 RK方法做變步長(zhǎng)方法是實(shí)踐中較好的方法！ ? 例 分別用改進(jìn)的歐拉格式和四階龍格 — 庫(kù)塔格式解初值問(wèn)題（取步長(zhǎng)h=）： 2( 0) 1xyyyy?? ???????( 0 1 )x??節(jié)點(diǎn) 改進(jìn)歐拉法 四階龍格 — 庫(kù)塔法 準(zhǔn)確解 0 1 1 1 1 表 （注：已指出過(guò)準(zhǔn)確解 12yx?? ） 單步法的相容性、收斂性和穩(wěn)定性 單步法的相容性 定義一 ：對(duì)于 （ ） 常微分方程初值問(wèn)題 單步法的形式可以變表示為 （ ） 其中 h為步長(zhǎng) 若對(duì)求解區(qū)間中任一固定的 x，當(dāng) 時(shí)皆成立 100( , 。 )n n n ny y h x y hyy?? ???? ??0?h00( ) ( )l im l im ( , 。 )hhy x h y x x y hh???? ??則稱由 （ ） 確定的單步法與微分方程初值問(wèn)題是 相容 的 注 意到上式左邊極限為 由 （ ） 知它應(yīng)等于從而由相容性 定義得 稱 相容性條件 。 ( , 。 0 ) ( , )x y f x y? ?單步法的收斂性 定義二： 設(shè) y(x) 是 （ ） 的解 ， 是單步法 （ ）產(chǎn)生的數(shù)值解 ， 對(duì)于每一個(gè)固定的 , ， 當(dāng) 即 。 若成立 ， 則稱該方法是收斂的 。 nynx0h? 1nnxx? ? 1 ()nny y x? ?1nnx x h? ??單步法的穩(wěn)定性 定義三 ： 若一個(gè)數(shù)值方法在基點(diǎn) 處的值有 的擾動(dòng) ， 在 此后各基點(diǎn) （ mn） 處的值產(chǎn)生的偏差均不超 過(guò) ， 則稱該方法是 穩(wěn)定 的 。 單步法的穩(wěn)定性有以下定理 ny??my定理二 ： 若單步法的增量函數(shù)對(duì)變量 y滿足 Lipschtiz 條件， 則單步方法是 穩(wěn)定 的。 相容性和收斂性的關(guān)系 定理一： 若單步法的增量函數(shù)對(duì)變量 y滿足 Lipschtiz 條件 ， 即存在與 h , x 無(wú)關(guān)的常數(shù) L， 對(duì)區(qū)域 D= 任意兩點(diǎn) （ x， y1） ,(x,y2)成立 ， 則單步法收斂的充分必要 條件是相容性條件成立 。 （ 讀者自證 ） ? ?,a x b y? ? ? ? ? ? ? ?相容性和方法階的關(guān)系 若單步法是 p階方法則成立 若單步法滿足相容性條件 ， 得 所以 =0 也就是說(shuō)單步法的階數(shù)一定要是正數(shù) 。 由于我們考慮 的單步法皆為正整數(shù) ， p至少為一 。 因此我們考慮的 單步法都滿足相容性條件 。 1( ) ( ) ( , 。 ) ( )py x h y x h x y h O h? ?? ? ? ?39。101( ) ( , ) ( )l im phy x f x y O hh ????0()lim phOh? 穩(wěn)定性和收斂性的關(guān)系 若單步法的增量函數(shù)滿足定理二的條件即單 步法是穩(wěn)定的則單步法收斂的充分必要條件 是 相容性條件成立 。 ( , 。 0 ) ( , )x y f x y? ?絕對(duì)穩(wěn)定性和絕對(duì)穩(wěn)定域 穩(wěn)定性問(wèn)題是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題 。 為了簡(jiǎn)化討論一 般僅對(duì)試驗(yàn)方程 進(jìn)行考察 。 這里假定 Re0,即試驗(yàn)方程本身是穩(wěn)定的 。 定義三： 若求解微分方程的數(shù)值方法對(duì)試驗(yàn)方程和給定 的步長(zhǎng) h， 在計(jì)算時(shí)引入舍入誤差 ， 這個(gè) 誤差在計(jì)算后繼的 ， k＝ 1,2,… 所引起的 誤差按絕對(duì)值均不增加 ， 就稱該方法是對(duì)這個(gè) 步長(zhǎng) h和復(fù)數(shù)是 絕對(duì)穩(wěn)定 的 。 保證數(shù)值方法絕 對(duì)穩(wěn)定性的 h0和的允許范圍 ， 稱為該方法的 絕對(duì)穩(wěn)定域 。 39。yy??n?nky?絕對(duì)穩(wěn)定性和絕對(duì)穩(wěn)定域 2 將 Euler方法應(yīng)用到試驗(yàn)方程得 誤差方程是 要求誤差不增長(zhǎng)則 nnnn yhhyyy )1(1 ?? ?????nnn h ???? ??? 11|1||| 1 ???? ??? hnn則 Euler 方法的絕對(duì)穩(wěn)定域是以 為半徑的圓的內(nèi)部。為了保證穩(wěn)定性步長(zhǎng)有所控制。 假如當(dāng) 時(shí) h應(yīng)滿足 ，當(dāng) 時(shí)， h 應(yīng)滿 足 等等。 同樣我們可以將試驗(yàn)方程用到其它各種單步法當(dāng)中，求出其絕對(duì)穩(wěn)定域。在實(shí)際應(yīng)用中必須在這個(gè)范圍內(nèi)，否則誤差傳播相當(dāng)大，即不穩(wěn)定。 1???h5??? 520 ?? h 100???50110020 ??? h ? ? 、漢明方法及辛普森方法 ? ? 、穩(wěn)定性和收斂性 167。 5 初值問(wèn)題的數(shù)值解法 ― 多步法 考慮型如 的 k步法 ， 稱為 阿當(dāng)姆斯 （ Adams） 方法 10kn k n k i n iiy y h f?? ? ? ???? ?1 1 2 3 30 , 0 , 0? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?01 0 1 21 1 21 1 21 1 2112 2 4 13 3 12 14 4 32 1?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????????? ? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? ??? 拿其中一種為例，推導(dǎo)其公式。對(duì)上面所說(shuō)的法一般形 式 若取 ，有 方程組 同樣解之，得到 3步 4階隱式 Adams公式和它的余項(xiàng)。 1 1 1 2( 9 1 9 5 )24n n n n n nhy y f f f f? ? ? ?? ? ? ? ?5 ( 5 )1 2 119 ( ) , ( , )720n n n n nT h y x x??? ? ?? ? ?其它請(qǐng)讀者自證。我們僅將結(jié)論列于下表。 Adams顯式公式 1pc?1n n ny y hf? ?? 122 1 1( 3 )2n n n nhy y f f? ? ??