【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 y x y x hh??或者中心差商( ) ( )2yx h yx hh? ? ?.中心差商是向前差商和向后差商的算術(shù)平均 .為逼近二階導(dǎo)數(shù)39。()yx，一般用二階差商 —— 向前差商的向后差商 (即向后差商的向前差商 ) 2( ) ( ) ( ) ( )39。39。( )( ) 2 ( ) ( ) .y x h y x y x y x hhhyxhy x h y x y x hh? ? ? ???? ? ? ?? (222) 設(shè) 將 積 分 區(qū) 間[, ]ab劃 分 為 N等 分 ， 步 長(zhǎng)bah N??， 節(jié) 點(diǎn)0 , 0,1,...,nx xnhn N?? ?. 差商替代相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，可將邊值問題 (221)離散化得到下面的公式： 1 1 1 1202 ( , , ) ,2, ( 1 , 2 , ... , 1 ) .,n n n n nnnNy y y y yf x yhhy n Ny??? ? ? ?? ? ?? ??? ? ? ??? ??? (223) 如果函數(shù)f是非線性的，那么所歸結(jié)出的差分方程也是非線性的，這時(shí) 10 實(shí)際求解比較困難 . 如果所給方程 (221)是如下形式的線性方程： 39。39。 ( ) 39。 ( ) ( ) .y p x y q x y r x? ? ? (224) 則差分方程 (222)相應(yīng)的形式為 1 1 1 122 , ( 1 , . . . , 1 ) .2n n n n nn n n ny y y y yp q y r n Nhh? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? (225) 其中,pqr的下標(biāo) n表示在節(jié)點(diǎn) nx的取值 . 利用邊界條件 (223)消除式 (225)中的 0y和 ny，整理得到關(guān)于(1 1)ny nN???的下列方程組： 221 1 1 2 1 12211221 2 1 1 1 1( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ,22( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ,22( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) .n n n n n n nN N N N N Nhhh q y p y h r phhp y h q y p y h rp y h q y h r p????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ( 2)nN?? (226) 這樣歸結(jié)出的方程組是所謂的三對(duì)角形的，即： 211222222 2 2211212112221 2 122122N N NNNhh q phhpphqhhp h q php h q? ? ?????? ? ?????????? ? ? ???? ? ??? (227) 因?yàn)樗南∈杈仃噧H在注對(duì)角線及其相鄰的兩條對(duì)角線上有非零元素 .求解這種三對(duì)角形方程組，用所謂追趕法 [ 10]特別有效 .在后面我們將介紹 . 167。 差分問題的可解性 我們知道，通過自變量的適當(dāng)變換可以消除線性方程 (224)中的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) .下面僅就缺一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的方程來討論這一問題 .考察邊值問題： 11 39。39。 ( ) ( ),( ) , ( ) .y q x y r xy a y b?????? ??? (231) 這里假定() 0qx?，其對(duì)應(yīng)的差分問題是 11202 ,.n n nn n nNy y y q y rhyy??????? ???? ??? ??? ( 1,2,..., 1),nN?? (232) 現(xiàn)在論證差分問題的可解性 .由于 式 (232)是關(guān)于變量( 0,1,2,..., )nyn N?的線性方程組 .要證明它的解的存在唯一，只要證明對(duì)應(yīng)的齊次方程組只有零解 .為此，我們要引進(jìn)下述極值定理 . 定理 1： 對(duì)于一組不全相等的數(shù) ny ( 0,1,..., )nN?，記 1122( ) ,n n nn n ny y yly qyh?????? ? ( 1,..., 1)nN?? (233) 假定( ) 0nly? ( 1,2,..., 1)nN，則 ny的正的最大值只能是 0y或 Ny；如果( ) 0nly? ( 1,2,..., )??，則 ny的負(fù)的最小值只能是 0y或 Ny. 定理 2： 差分問題式 (232)的解存在的并且唯一的 . 證明略， 見參考文獻(xiàn) [11]. 167。 差分方程的收斂性 對(duì)于任給 ,0 nhxxn ?? 如果數(shù)值解 ny 當(dāng) 0?h (同時(shí) ??n )時(shí)趨向準(zhǔn)確解)(nxy ，則稱該差分方程是收斂的 . 現(xiàn)在運(yùn)用極值原理證明差 分方程的收斂性并估計(jì)誤差 . 定理 3 設(shè) ny 是差分問題 (232)的解，而 )(nxy 是邊值問題 (231)的解 )(xy在節(jié)點(diǎn) nx 的值，則截?cái)嗾`差有下列估計(jì)式： .|)(|,96)(|| )4(22 m ax xyMhabMebxan ????? (241) 證明略，可參見參考文獻(xiàn) [12]. 12 167。 差分方程的穩(wěn)定性 前面關(guān)于收斂性問題的討論有個(gè)前提，必須假定差分方程的每一步計(jì)算都是準(zhǔn)確的 .事實(shí)情況并不是這樣，差分方程的求解還會(huì)有計(jì)算誤差，譬如由于數(shù)字舍入而引起的擾動(dòng) .這類擾動(dòng)在傳播過程中會(huì)不會(huì)惡性增長(zhǎng)，以至于“淹沒”了差分方程的“真解”，這就是差分方程的穩(wěn)定性 [ 13]問題 . 如果一種差分方法在節(jié)點(diǎn)值 ny 上大小 為 ? 的擾動(dòng)，導(dǎo)致以后各節(jié)點(diǎn)值 my nm? 上產(chǎn)生的偏差均不超過 ? ，則稱該方法是穩(wěn)定的 . 在實(shí)際計(jì)算時(shí)，希望某一步的擾動(dòng)在后面的計(jì)算中能夠被控制，甚至是逐漸衰減的 .也就是希望所應(yīng)用的方法具有穩(wěn)定性 . 邊值問題的病態(tài)性 (穩(wěn)定性 )與解得模 式和邊界條件之間的相互作用有關(guān) .對(duì)于良態(tài)的邊值問題，解得增長(zhǎng)和衰變模式要受到約束條件的控制 .對(duì)于這些問題的研究在這里不作詳細(xì)討論 . 167。 有限差分分方程的解法 下面我們來研究以下這些差分方程組的解法： 將系數(shù)矩陣為對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組簡(jiǎn)記為 .fAx? (261) 其中 112 2 2111i i innnnnbca b cA a b cbcaab???? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ??? (262) ? ?Tnni xxxxxx ,, 121 ?? ?? ， ? ?1 2 1, , , , , .Ti n nf f f f f f?? 13 其中， A 滿足下列對(duì)角占優(yōu)條件： (1) 0|||| 11 ??cb 。 (2) | | | | | |, , 0 ( 2 , 3 , , 1 ) ,i i i i ib a c a c i n? ? ? ? ? (263) (3) .0|||| ?? nn ab 下面利用矩陣的直接三角分解法來推導(dǎo)求解三對(duì)角方程組 (261)的計(jì)算公式 .由系數(shù)矩陣 A 的特點(diǎn)，可以將 A 分解為兩個(gè)三角陣的乘積，即 .A LU? 其中 L 為下三角陣， U 為單位上三角陣 .下面說明這種分解是可能的 1 1 1 12 2 2 2 2 233111 111,11nnn nn n n nbca b cAbcaab? ??? ????????? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? (264) 其中 iii ??? , 為待定系數(shù) .比較 (254)兩端即得 iiiiiiiiicbacb????????????????111111, ????????).1,3,2(),2(nini?? (265) 由 011 ??ba ， 11 1 1 1| | | | 0, cbc b?? ? ?，得 1||0 1 ??? .下面用歸納法證明 | | | | ?? )1,2,1( ?? ni ? (266) 即 1||0 ?? i? 從而由式 (265)可求出 i? .式 (266)對(duì) 1?i 是成立的 .現(xiàn)設(shè)式 (266)對(duì) 1?i 成立，求證對(duì) i 亦成立 .由歸納法假設(shè) 1||0 1 ?? ?i? ，又由式 (266)及 A 的假設(shè)條件，有： 0|||||||||||||| 11 ???????? ?? iiiiiiiiii cababab ??? ， 也就是 1||0 ?? i? ，由式 (265)得到 1??? iiii ab ?? ),3,2( ni ?? ， 14 1()iii i icba? ??? ? )1,3,2( ?? ni ? . 也就是說，由 A 得假設(shè)條件完全確定了 }{i? ， }{i? ， }{i? ，實(shí)現(xiàn)了 A 與 LU 的分解 . 那么，求解 fAx? 等價(jià)于解兩個(gè)三角方程組 fLy? 與 yUx? ，先后求出 y與 x ，從而得到以下解三對(duì)角方程組的 追趕式公式 [14]： 步 1 計(jì)算 }{i? 的遞推公式 1111, , ( 2 , 3 , , 1 ) .()iii i icc inb b a?? ??? ? ? ??； 步 2 解 fLy? ： 111 11(),.i i ii i i if a yfyyb b a ? ????? ? ),3,2( ni ?? ； 步 3 解 yUx? ： 1, ???? iiiinn xyxyx ? )1,2,2,1( ???? nni . 將計(jì)算系數(shù) 121 ???? n??? ? 及 nyyy ??? ?21 的