【文章內容簡介】 nnnUUUUUrrrrrrrrrrrrr????1001232111121122122011012201112222112nnnnnnMnnnMMMrrrrUUUr r rUr r r UUr r rrrUUUrr???????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????1,1,0 ?? Nn ?其中? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?????????????????????????????????????????????hMhMhhhUUUUUMM12320102030201???????令 ???????????????????????????21121121121121???MT（ ） 這是 階三角線方陣，其特征值為 方程（ ）寫為 于是 矩陣 的特征值為 ? ?1?M1,2,1,2s i n4 2 ?????????? MjMjj ???? ? ? ??????????? ????0111 22UeUrTIUrTI nnMnM? ? ? ?111 22 ??? ??? MM rTIrTICC1,1,2s i n422s i n4222????????????????MjMjrMjr???很清楚，對所有的 和所有的 ，上式的絕對值小于1，又因為矩陣 是實對稱矩陣，故由定理 CrankNicolson格式無條件穩(wěn)定。 （ 3）加權六點格式的穩(wěn)定性 定解問題（ ），（ ），（ ）的加權六點格式相應的差分問題是 j 2/ hkr ?C? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ???????????????????????????????????NnnkUnkUMmmhUMmNnrUrUUrrUUrrUnMnmnmnmnmnmnmnm,1,0,1,0,1,2,1。1,1,0111212121001111111?????????????，可以寫為 于是 其特征值為 ? ? ? ?? ?????????????? ??????0111 1,1,01UNneUrTIUrTI nnMnM ?，? ? ? ?? ?111 1 ??? ???? MM rTIrTIC ??? ?1,1,2s i n412s i n14122?????????????????? MjMjrMjrj ??????現在研究 在什么條件下其絕對值不大于 1，即 右邊不等式 對 和網絡比 都成立。左邊不等式 即 或 j?? ?12s i n412s i n141122??????????????????MjrMjr????10 ??? 0?r? ? ???????????????? MjrMjr 2s i n412s i n141 22 ????? ? ????????????????? MjrMjr 2s i n1412s i n41 22 ??????????????????? MjrMjr 2s i n82s i n42 22 ???? ? 12s i n122 2 ????????? Mjr ?? 若 ，對一切 均成立。即當 時，不論 如何，加權六點格式恒穩(wěn)定。 若 ，則上述不等式可改寫為 欲此式成立，必須 所以當 時，加權六點格式穩(wěn)定條件為 ? ? 012 ??? 0?r 121 ???0?r? ? 012 ???? ? 12s i n212 2 ???????? Mjr ??? ? 1212 ?? ?r210 ???? ??2121??rr由此，關于加權六點格式的穩(wěn)定性條件可以總結為 即當 時加權六點格式為條件穩(wěn)定，當 時格式為無條件穩(wěn)定。 ? ??????????????????21212101212hkrr時，當無限制時，當 （ ） 210 ??? 121 ???（ 4） Richardson格式 —— 一個完全不穩(wěn)定的差分格式 熱傳導方程 的 Richardson格式是 其截斷誤差階為 。 上述差分格式可改寫為 () 22uutx?????1111222n n n n nm m m m mU U U U Ukh????? ? ??22()O k h?11 112 ( 2 )n n n n nm m m m mU U r U U U?? ??? ? ? ?因此，在點 上列方程時，要用到 ， ， , 四個點， 如圖 。 為了求第 層結點的 差分方程解，要用到第 層結點和第 層結點上的 值，這種差分格式稱為三層格式。 為了利用三層格式進行計算，事先要求 圖 有第一層網格上的值 ，才能逐層地計算。 下面討論差分方程問題 ( , )mn ( 1, )mn? ( 1, )mn?( , 1)mn? ( , 1)mn ?( , 1)mn?( , 1)mn?( 1, )mn? ( 1, )mn?( 1)n?( 1)n?n U1mU( , )mn111100122 ( 2 )()( ) , ( )n n n n nm m m m mmnmmU U r U U UU m hU n k U n k???????? ? ? ? ????? ???1 , , 1 。 1 , 2 , ,m M n N? ? ?0 , 1 , ,mM?0 , 1 , ,mN?的穩(wěn)定性，為此寫成矩陣形式 1011213121122nnnnnMnnmMrUUUUUrUU???????????????????????? ?????????????????? ???? ??111122133122111422 4 22 4 22 4 224nnnnnnMMrrUUr r rr r rUUr r rUUrr????????? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?1 , 2 , , 1nN??0102030201()( 2 )( 3 )( ( 2) )( ( 1 ) )MMhUhUhUMhUMhU????????? ???? ???? ???? ????? ???? ???? ????? ????? ????1112131211MMUUUUU??????????????????????預先算得 即 預先算得 為了討論穩(wěn)定性，化三層格式為雙層格式，令 則 1101n n nnU CU U eUU???? ? ? ??????1 , 2 , , 1nN??11nnnUWU?? ??? ????11111000nnnnnnnC I eUUWIUUUWU????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????? ??????1 , 2 , , 1nN??是雙層格式，故可用矩陣法分析其穩(wěn)定性。 由矩陣 的特征值可知矩陣 的特征值為 1MT ? C28 sin ( )2jrM?? 1 , 2 , , 1jM??而矩陣 0CIHI???????為矩陣 的復合矩陣，求它的特征值，可應用下面定理。 C( ( ) )ijA f B? 定理 （ Williamson定理） 設矩陣 ，其中 為給定的 階矩陣， 為 的多項式，則 的特征值 B n ()ijftt A1, 2 , ,ln?( ( ) )l ij lAf ??由矩陣族 的所有特征值組成，其中 為 的特征值。 由此 的特征值與矩陣族 i?B1 , 2 , , 1jM??28 si n ( ) 1210jrM????????H的特征值相同，此矩陣族的特征方程為 228 s in ( ) 1 02