【正文】 主 講 ：林 亮 時間 ： 性 質(zhì) ： 選 修 對 象：信科 08 2 微分方程數(shù)值解法 差分格式的穩(wěn)定性和收斂性 問題的提出 我們先看一個數(shù)值例子，考慮初邊值問題 ? ?????????????????????????????TtuuxxuTtxxutuxxt0,00,0。0,0022????其中 ? ???????????????????xxxxx2,20,（ ） 利用顯式差分格式（ ），即 式中 。 連同初值條件： 邊值條件： 逐層解出結(jié)點處的 值。 ? ? ? ?nmnmnmnm UUrUrU 111 21 ??? ????? ? 1,2,1。/。1,1,0 ????? MmkTNNn ??? ? 1,2,1,0 ??? MmmkU m ??NnUU nMn ,2,1,0,00 ????U 現(xiàn)在對 ，取二種 ，使 。圖 和圖 ，圖中“ ”表示差分方程的解 20??h951152 和?? hkrk 圖 時的計算結(jié)果是曲線自上而下依次為 微分方程的精確解。紅點是用差分格式在 時算出的相應(yīng)各層上的近似值。二者符合得很好，由于對稱性我們只給出一半圖形。 1152 ?? hkr? ?0 , 11 , 22 , 33 , 44 , 88nt nk n??115?r115?r圖 利用顯式差分格式（ ）的解 0?n22?n33?n44?n88?n11?n? ?txu ,x? ?txu ,x??a? ?txu ,x??b? ?txu ,x??c圖 利用顯式差分格式（ ）的解 95?rn=9 n=18 n=27 圖 時差分方程和微分方程精確解的圖示，紅點仍表示差分方程解，其中（ a),(b),(c)分別為在 時的計算結(jié)果。從圖中看出，隨著 的增大，差分方程的解越來越遠離微分方程的解。 由此可見，值的不同，得出的結(jié)果有很大的差別，如 的結(jié)果是可用的，但是 時的結(jié)果就完全沒有用。 當(dāng)然上面各種情況所得的差分方程解是由計算機得到的，不可能是差分方程理論上的準確解 ，而是差分方程的近似解，我們用 表示。顯然 與 之間存在著差別。差分方程的準確解 與微分方程的解 之間，如前所 95?r27,18,8, ?? nnkt n nr115?r95?rnmUnmU~ nmU nmU~nmU nmu述，也是有差別的。因而從計算機上解得的差分方程近似解 與微分方程解 之間的差別實質(zhì)上包括兩方面的差別，即 下面我們先研究上式右邊第二項，即差分方程的理論解與計算機上解得的近似解之間的差別是隨著 的增大而無限增大還是有所控制。如果這種差別是無限增加，則稱差分格式不穩(wěn)定，顯然不穩(wěn)定的格式是不能使用的，因為誤差的無限增加淹沒了真解。上例中的 時就是差分方程不穩(wěn)定的情況。從差分方程，比如格式（ ）可知， nmU~ nmu? ? ? ?nmnmnmnmnmnm UUUuUu ~~ ????? （ ） n95?r在求第一層的差分方程解 時，用到第 0層上的 值，也就是初值解。由于計算機存儲數(shù)據(jù)位二進制數(shù)位限制， 不可能完全精確地存儲在機器上，也就是計算 用到的是帶有誤差的初始值 。一般來說，在計算 時又出現(xiàn)了誤差，因此 中包括了由于 參加運算而出現(xiàn)的誤差，即初始誤差的傳遞，以及本身計算過程中出現(xiàn)的誤差。這樣，在第 (n+1)時間層計算 時得到的 是由于前面的誤差傳遞和本身計算中出現(xiàn)的誤差引起的。下面我們給出研究差分格式穩(wěn)定性的最直接的方法。就是在第 0層的一個結(jié)點上給出一個誤差 ，然后研究這個誤差的發(fā)展情況，即 圖方法。 1mU 0mU0mU1mU0~mU 1mU11~ mm UU ? 0~mU1?nmU 1~ ?nmU? ? 圖方法 假定在固定的某個結(jié)點 上引入一個誤差 ，即把 改成了 ，而在這一層的其他結(jié)點上的初值還是 ，假定用帶有誤差的初值 按差分格式去計算以后各排結(jié)點上的 值，且假定計算時沒有引入其他誤差，我們把得到的值記做 ，這樣 滿足原來的差分格式。假定我們使用差分格式（ ），于是 ?? ?0,0m ?00mU ??? 00 00~mm UU0mU 00~mUnmUnmU~ nmU~? ? ? ?????????????????????????????????NnUUMmmmUmmUUMmNnUUrUrUnMnmmmnmnmnmnm,1,0,0~~1,2,1,~1,2,1。1,1,0,~~~21~000000111?????顯然兩解之差 滿足 111 ~ ??? ?? nmnmnm UUV? ? ? ??????????????????????????????NnVVMmmmmmVMmNnVVrVrVnMnmnmnmnmnm,1,0,01,2,1,01,2,1。1,1,0,210000111?????（ ） （ ） 以下分析當(dāng) 時， 隨著 增加而變化的情況。先看 的情況，由式（ ）得 121 ?? rr 和 nmV n21?r? ?nmnmnm VVV 111 21 ??? ??由此利用條件（ ）即可算出 的值（見表 ）。 1?nmV 5 ε /32 0 5 ε /32 0 10 ε /32 0 10 ε /32 0 5 ε /32 0 ε /324 0 ε /16 0 4 ε /16 0 6 ε /16 0 4 ε /16 0 ε /16 03 0 0 ε /8 0 3 ε /8 0 3 ε /8 0 ε /8 0 02 0 0 0 ε /4 0 2 ε /4 0 ε /4 0 0 01 0 0 0 0 ε /2 0 ε /2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 ε 0 0 0 0 0 n/m0 m05 m04 m03 m02 m01 m0 m0+1 m0+2 m0+3 m0+4 m0+5表 由表 ，用顯式差分格式（ ） 計算時，由 初始數(shù)據(jù)的誤差，在以后各層所引起的誤差是逐層減小的， 這說明差分格式（ ）當(dāng) 時是穩(wěn)定的。 再看 的情形，由（ ）得 ?????? ?21r21?r1?r nmnmnmnm VVVV 111??? ???由此利用條件（ ）即可算出 的值（見表 ） nmV5 ε 5 ε 15 ε 30 ε 45 ε 51 ε 45 ε 30 ε 15 ε 5 ε ε4 0 ε 4 ε 10 ε 16 ε 19 ε 16 ε 10 ε 4 ε ε 03 0 0 ε 3 ε 6 ε 7 ε 6 ε 3 ε ε 0 02 0 0 0 ε 2 ε 3 ε 2 ε ε 0 0 01 0 0 0 0 ε ε ε 0 0 0 00 0 0 0 0 0 ε 0 0 0 0 0 n/m0 m05 m04 m03 m02 m01 m0 m0+1 m0+2 m0+3 m0+4 m0+5表 由表 ，用顯式差分格式（ ） 計算時，由初始數(shù)據(jù)誤差所引起的誤差在以后各層的計算中逐層迅速增大，以至于不能控制，因此差分格式（ ）在 時不穩(wěn)定。 ? ?1?r1?r 用 圖方法討論格式的穩(wěn)定性能直觀地看到差分格式是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的，它的缺點是必須先固定 然后再進行討論。 穩(wěn)定性定義、穩(wěn)定性分析的矩陣方法 以下討論求初值問題 ?r? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????TtttuttuxxxuTtxxutu0,1,010,0,0。10,2122??? 數(shù)值解的差分方程的穩(wěn)定性問題。如前所知，聯(lián)系二個相鄰時間層 ， 值的差分方程全體可以寫成（如例 ） ? ?1,2,11 ??? MmU nm ?nmU???????????????????01 。1,1,0,UKTNNneUBUA nnnnn ?其中 ????????????????????????????????????????????????????nmnnnnmnnnnmnnneeeeUUUUUUUU1211211112111,???（ ） 為 維列向量； ； 為已知向量； 為包括邊值條件的向量； 為 階方陣，可以隨 而改變。如果差分方程為顯式，則對所有的 ， ；如果 ， ，則隱式格式可以寫成顯式形式。 ? ?1?M 1?Mh nU nenn BA ,? ?1?M nn IAn ? IAn ?0?nA????????? ????0111 ,UBACeAUCU nnnnnnnn（ ） 設(shè) 是初始值引進的誤差向量，而在邊值以及其他各層計算中未引入其他任何誤差。由于 的引入，差分方程的解 。為了弄清差分格式（ ）的穩(wěn)定性條件，給出穩(wěn)定的定義： 0V0VnU~ 對于任意給定的 ，存在與 無關(guān)且依賴于 的正數(shù) ，使當(dāng) 時，對于任何的 ，差分格式得到的解 滿足不等式 則我們說差分格式是穩(wěn)定的，其中 是某一向量范數(shù)。 下面簡單地引進向量和矩陣的范數(shù)的定義：