[理學(xué)]常微分方程第五講：全微分方程(已修改)
2024-10-28 21:13 本頁面
【正文】 西南科技大學(xué)理學(xué)院 1 第五講 全微分方程與積分因子 三、 積分因子法 一、全微分方程與原函數(shù) 二、全微分方程判定定理與不定積分法 四、 小結(jié) 西南科技大學(xué)理學(xué)院 2 定義 : 即 ( , ) ( , ) ( , )d u x y M x y d x N x y d y??( , ) ( , ) 0 ( 1 )M x y d x N x y d y??若 例如 ,0?? y d yx d x 221( , ) ( ) ,2u x y x y? ? ?全微分方程 或恰當(dāng)方程 ( , ) ,d u x y x d x y d y??使得 是全微分方程， 一、全微分方程與原函數(shù) 的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分， 則稱（ 1）為全微分方程或恰當(dāng)方程， 稱為（ 1）的一個原函數(shù)。 ( , )u x y( , )u x y 是方程的一個原函數(shù)。 西南科技大學(xué)理學(xué)院 3 容易證明，如果 是微分方程（ 1）的一個原函數(shù)，則（ 1）的通積分為 ( , )u x y( , ) ,u x y C?其中 C為任意常數(shù)。 于是，求解全微分方程的關(guān)鍵在于求出它 的一個原函數(shù)。 220。x d x y d y x y C? ? ? ?11積為22的通 分例如 0。x d y y d x x y C? ? ?積為的通 分22 0 a r c t a n .y d x x d y x Cyxy? ??? 積為的通 分西南科技大學(xué)理學(xué)院 4 222 ( ) 0 .x y d x x y d y? ? ?例 1 求 解 微 分 方 程 我們通過觀察尋找方程的一個原函數(shù)。 222 2 22 3 2 3211( ) ( ) ( ) .33x y dx x dy y dyy dx x dy y dyd x y d y d x y y??? ? ?? ? ? ??左 端23 13x y y C??積 為 。原 方 程 的 通 分 對于一個一般的方程，怎樣判斷它是否是全微分方程呢？若是，又怎樣求原函數(shù)？ 西南科技大學(xué)理學(xué)院 5 西南科技大學(xué)理學(xué)院 6 二、全微分方程判定定理與不定積分法 定理：設(shè)函數(shù) M(x,y)、 N(x,y) 在 xoy 平面上的單連通區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)可微，那么方程 (1)是全微分方程的充要條件是在 D 內(nèi)恒成立 .MNyx?????演示證明 。 222222 ( 1 ) 0 ,2 ( 1 ) , .,x x y d x x y d yM x x y N x yM x Nyx xy??? ? ???????例 如 ： 對 于 方 程 從 而西南科技大學(xué)理學(xué)院 7 即方程為全微分方程?，F(xiàn)在，我們來求方程的一個原函數(shù)。? ?222 ( 1 ) , ( * ) . )( , )( * *uM x x yxuN x yyu x y?? ? ???? ? ??，設(shè) 是 方 程 的 一 個 原 函 數(shù) 則 有2322 2( , ) 2 ( 1 ) ( )2( ) ( ) .3*u x y x x y dx yxxyx y y??? ? ?? ? ? ??先 就 （ ） 兩 端 對 積 分 （ 視 為 常 數(shù) ） 有西南科技大學(xué)理學(xué)院 8 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y??一般地，若 為全微分方程，則它的通積分為 1222( ) 39。( ) ,*39。( ) 0 (*).x y yxxyy y C???? ? ? ? ? ???， 再 利 用 （ ） （ 視 為 常 數(shù) ） 有即 于 是 從而求得一個原函數(shù) 322 22( , ) ( ) .3u x y x x y? ? ?00 0( , ) ( , ) ( , )xyu x y P x y d x Q x y d y????00 0( , ) ( , ) .yxQ x y d y P x y d x??
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