【正文】 第一節(jié) 微分方程的概念 第二節(jié) 常見的一階微分方程 第三節(jié) 高階微分方程 第四節(jié) 歐拉方程 第五節(jié) 微分方程的應(yīng)用 第六節(jié) 差分方程簡介 微分方程簡介 ? 方程： 線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等。 ?用微積分描述運(yùn)動(dòng)，便得到 微分方程 。例如描述物質(zhì)在一定條件下的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律；某個(gè)物體在重力作用下自由下落時(shí)距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行的軌道等。 ?微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家 耐普爾 創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解。 牛頓 在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布 貝努利、歐拉 、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、 達(dá)朗貝爾 、 拉格朗日 等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。 微分方程簡介 ﹡ 常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。 ?牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。 微分方程簡介 ?利用微分方程可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，有了解方程的方法。它也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。 ?常微分方程的特點(diǎn)：求通解 與特解 ? 常微分方程的應(yīng)用：自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研 究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。應(yīng)該說，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就。 第一節(jié) 微分方程的概念 一 .實(shí)例 例 1. 曲線過 (0,1),且曲線上每個(gè)點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)的橫坐 標(biāo) ,求此曲線方程 . 設(shè)曲線方程為 y = y(x), 則 1|,0 ??? ?xyxycxx dxy ???? ? 22 1?c 122??? xy例 2. 質(zhì)量為 m的物體垂直上拋 , t =0 時(shí) ,初始位移和初速度分別為 , 00 vS 求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 . 設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為 S=S(t), 則 ,m)(m gtS ????0000 |,| vSSS tt ??? ??兩次積分分別得出 : ,)(1cgttS ???? ,21)(212 ctcgttS ????條件代入 : ,0201 Scvc ??,21)( 002 StvgttS ?????二 . 概念 1. 微分方程 : 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程 . 未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程 .(前例 ) 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程 . 本章內(nèi)容 2. 階 : 未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) . 例 1是一階微分方程 ,例 2是二階微分方程 . n階方程一般形式 : 0),,( )( ??????? nyyyyxF必須出現(xiàn) 3. 解 : 如果將函數(shù) y=y(x) 代入方程后恒等 ,則稱其為方程的解 . 如果解中含有任意常數(shù) ,且個(gè)數(shù)與階數(shù)相同 通解 不含任意常數(shù)的解 特解 必須獨(dú)立 n階方程通解一般形式 : ),( 21 ncccxyy ????4. 定解條件或 初值條件 : 確定通解中任意常數(shù)值的條件 . 定解條件的個(gè)數(shù)要和階數(shù)相同 ,才能確定唯一特解！ . 5. 幾何意義 : 通解 積分曲線族 特解 積分曲線 例 :驗(yàn)證 是 的通解 cyx ?? 22yxy ???對(duì) 用隱函數(shù)求導(dǎo)法得 : cyx ?? 22yxy ???故 是方程的解 , cyx ?? 22 且含有一個(gè)任意常數(shù) . 通解 第二節(jié) 幾種常見的一階微分方程 本節(jié)介紹一階微分方程的基本類型和常見類型 . 一階微分方程的一般形式 我們研究的形式 0),( ??yyxF),( yxfdxdy ?一、可分離變量的微分方程 dyygdxxf )()( ?(1) 解法 : : dyygdxxf )()( ? : ?? ? dyygdxxf )()( : CxFyG ?? )()(只寫一個(gè)任意常數(shù) 例 : xydxdy 2).1( ?x dxdyy 21 ? x dxdyy 21 ?? ?,||ln 12 Cxy ??? 2112 xCCx eeey ???? ?任意常數(shù) ,記為 C 2xCey ??絕對(duì)值號(hào)可省略 1|,).2( 022????? ?xyyxy xyxydxxxdyyy 22 11 ??? dxxxdyyy 22 11 ??? ??122 )1l n ()1l n ( Cxy ???? )(),1(1 222 CeCxCy ?????定解條件代入 : C=2 故特解為 : ).1(21 22 xy ????二 .齊次方程 如果方程 (1)可化成 : )(xydxdy ?? 齊次方程 解法 : 令 化成可分離變量方程 . xyu?xuy ?dxduxudxdy ??)( udxduxu ???? dxxuudu 1)( ???例 : 22xxyydxdy??1)( 2??xyxydxdy12??? uudxduxudxxduu 1)11( ???xCuu lnln 1 ???xyu?xyu?xyCey ?*可化為齊次方程的方程 00 1111???? ??? cccybxa cbyaxdxdy 或，方程解法：若 011?ba ba 則先令 ??? ??????,0,0111 cybxacbyax 求出解 , 00 yx 再作變量代換 ???????,00yYyxXx 于是原方程化為齊次方程 . 若 ，011?ba ba作變量代換， byaxv ??原方程化為可分離變量的方程 . 例 解方程 (2x5y+3)dx(2x+4y6)dy=0. 04 52211??ba ba解：???????,0642,0352yxyx令???????,1,1YyXx令解得 x0=1, y0=1 XYXYYXYXdxdy42524252??????則dXduXudXdYXYu ??? 有令 ,dXXduuu uuudXduXu 1274 24,42 52 2 ???? ????? 即方程變?yōu)?9。22 |)14()2(|ln31)141342132(27424 cuuduuuduuuu ????????????? ??.)14()2( 39。39。32 cXuu ???故CxyyxxyXYu ????????? )34()32(,11 2代入得將三 .一階線性方程 一般形式 : )()( xQyxPdxdy ?? (2) :0)( ?xQ 0)( ?? yxPdxdy (3) 一階線性齊次方程 一階線性非齊次方程 :0)( ?xQ自由項(xiàng) 方程 (3)是可分離變量方程 , 其通解為 : ?? ? dxxPCey )(方程 (2)的通解 常數(shù)變易法 設(shè) (2)的通解 : ?? ? dxxPexCy )()( 代入方程 (2): ?????? ?? dxxPdxxP exPxCexCy )()( )()()( ??? dxxPexQxC )()()(CdxexQxC dxxP ???? ? )()()(則方程 (2)的通解 : ])([ )()( CdxexQ