[工學(xué)]第5章_常微分方程-文庫(kù)吧資料
2025-01-25 12:01本頁(yè)面
【正文】 0212baa??????????121baxexxy 2)121( ????則一個(gè)特解為 因此通解為 : xx eCeCy 3221 ?? xexx 22 )2( ??例 :求 的通解 . xxeyyy 265 ??????,0652 ??? rr ,3,2 21 ?? rr則對(duì)應(yīng)的奇次方程的通解為 xx eCeCY 3221 ??2??2. 型 此時(shí)設(shè)特解為 : 不是特征根 是特征根 證明略 m 次多項(xiàng)式 }n,m a x {m l?]s i n)(c o s)([)( n xxPxxPexf lx ??? ??]s i n)(Rc o s)(R[ )2(m)1(m xxxxexy xk ??? ?????????????iik10例 :求 的一個(gè)特解 . xeyyy x c o s22 ??????)s i nc o s( xbxaxey x ???則設(shè) 將 代入方程得 : ?y xxaxb c o s)s i nc o s(2 ??21,0 ??? baxexy x s in2??則一個(gè)特解為 ,0222 ??? rr是特征根由于 i?1例 : 求 的通解 . xxyy 2s i n4 ????,042 ??r則對(duì)應(yīng)的奇次方程的通解為 xCxCY 2s i n2c o s21 ??,22,1 ir ??,12,1 ir ??由于 是特征根 , ]2s i n)(2c o s)[( xdcxxbaxxy ?????則設(shè) 將 代入方程得 : ?yxxxbcaxxdacx 2s i n2s i n)428(2c o s)428( ???????xxxxy 2s i n162c os82????則一個(gè)特解為 ???????????????042180420bcadac???????????????1610081dcba因此通解為 : xCxCy 2s i n2c o s21 ?? xxxx 2s i n162c os82??ii 2??? ??題型解析 通解求 xeyyxyx 36)1(241. ???????.e51ee.e51eee6dddddd41dd41dddddddddd21dddddd,322313u2u231322322222xxxuuxCCyxuuCCyyuyuyuyuuyuxuxyuxyuyuxuuyxyux???????????????????＋帶回，得：將其通解為：，－代入原方程可得：，＝＝，＝＝則令.e)12(ee)(.1,21:,e)()(*.ee)(:.2,1:,e)(2)(39。)(39。)( xfyxQyxPy ???? ???])[(])[(][ ??? ???????? yYxQyYxPyY)()(0 xfxf ???將 代入 (3)的左端 : ??? yYy??????? ])()([ YxQYxPY ])(39。223111122CxCCyxCyxCpxxppppxpxpxpypy????????????????：積分得微分方程通解為，即：簡(jiǎn)得：等式兩端同時(shí)積分并化分離變量得：原方程可化為：，則令二、 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 一般形式 : )1(),()()()( )2(2)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn ???????? ??當(dāng) 時(shí) , 0)( ?xf當(dāng) 時(shí) , 0)( ?xfn階線性非奇次方程 0)()()( )2(2)1(1)( ???????? ?? yxPyxPyxPy nnnnn階線性奇次方程 下面以二階方程為例 ,討論高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) . 1. 二階線性奇次方程解的結(jié)構(gòu) 一般形式 : )2(,0)()( ?????? yxQyxPy顯然 , y = 0 是 (2)的解 . 平凡解 討論非平凡解 : 定理 . 如果 是 (2)的兩個(gè)解 ,則 也是 (2)的解 ,其中 為任意常數(shù) . )(),( 21 xyxy )()( 2211 xyCxyCy ??21,CC證明 : )(),( 21 xyxy由于 是 (2)的兩個(gè)解 , 所以 0)()( 111 ?????? yxQyxPy0)()( 222 ?????? yxQyxPy)()( 2211 xyCxyCy ??將 代入 (2)的左端 : ])[(])[(][ 221122112211 yCyCxQyCyCxPyCyC ????????21111 ])()([ CyxQyxPyC ??????? ])()([ 222 yxQyxPy ?????000 ???則 也是 (2)的解 . )()( 2211 xyCxyCy ??11212211 )2( CyyCCyCyCy ?????注意 : 不一定是通解 . 2211 yCyCy ??例如 : 1y 是 (2)的解 , 則 也是 (2)的解 . 12y此時(shí) 不是通解 函數(shù)的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān) 設(shè) 為定義在 I 上的 n 個(gè)函數(shù) , nyyy , 21 ???02211 ??????? nn ykykyknkkk , 21 ???如果存在 n個(gè)不全為零的常數(shù) ,使得 線性相關(guān) 否則 ,線性無(wú)關(guān) 例如 : 線性相關(guān) 在任意區(qū)間 I上 : xx 22 s in,c o s,1取 ,1,1321 ???? kkk0s i nc o s1 22 ??? xx2,1 xx線性無(wú)關(guān) 要使 ,必須 02321 ??? xkxkk .0321 ??? kkk對(duì)于兩個(gè)函數(shù) : 如果它們之比為常數(shù) ,則線性相關(guān) 。39。21)0(2222121212??????????????????????????????????????xyCCxyCxyxyyyxyCyyyCyyCpyyppppypyppypypyppypyy故微分方程的特解為：積分得：分離變量得：，則方程化為：代入上式得：時(shí)，把初始條件，即：兩端積分并化簡(jiǎn)得：分離變量得：，否則與已知條件矛盾即：，原方程可化為：，則令?的通解求 1)( 2 ?????? yyy
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