[工學(xué)]第5章_常微分方程-資料下載頁(yè)
2025-01-19 12:01本頁(yè)面
【正文】 i n)(c o s)([)( n xxPxxPexf lx ??? ??]s i n)(Rc o s)(R[ )2(m)1(m xxxxexy xk ??? ?????????????iik10例 :求 的一個(gè)特解 . xeyyy x c o s22 ??????)s i nc o s( xbxaxey x ???則設(shè) 將 代入方程得 : ?y xxaxb c o s)s i nc o s(2 ??21,0 ??? baxexy x s in2??則一個(gè)特解為 ,0222 ??? rr是特征根由于 i?1例 : 求 的通解 . xxyy 2s i n4 ????,042 ??r則對(duì)應(yīng)的奇次方程的通解為 xCxCY 2s i n2c o s21 ??,22,1 ir ??,12,1 ir ??由于 是特征根 , ]2s i n)(2c o s)[( xdcxxbaxxy ?????則設(shè) 將 代入方程得 : ?yxxxbcaxxdacx 2s i n2s i n)428(2c o s)428( ???????xxxxy 2s i n162c os82????則一個(gè)特解為 ???????????????042180420bcadac???????????????1610081dcba因此通解為 : xCxCy 2s i n2c o s21 ?? xxxx 2s i n162c os82??ii 2??? ??題型解析 通解求 xeyyxyx 36)1(241. ???????.e51ee.e51eee6dddddd41dd41dddddddddd21dddddd,322313u2u231322322222xxxuuxCCyxuuCCyyuyuyuyuuyuxuxyuxyuyuxuuyxyux???????????????????＋帶回，得：將其通解為：，－代入原方程可得：，＝＝，＝＝則令.e)12(ee)(.1,21:,e)()(*.ee)(:.2,1:,e)(2)(39。3)(39。39。:22212221212xxxxxxxxxCCxbabaxxxCCxrrxxxxxQyP???????????????????????????故微分方程的通解為：解得設(shè)一個(gè)特解為的通解為從而對(duì)應(yīng)齊次微分方程程的特征根為其所對(duì)應(yīng)的齊次微分方非齊次微分方程，該微分方程為二階線性得由)(,)(,)(])(2)(3[.2 2xxdyxy d xxexxLx?????求有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)其中與路徑無(wú)關(guān)設(shè) ? ?????的特解滿足求 0)0()0(2s i ???????? yyxexyy x。c o s2*,02,0242,s i n4c o s2s i n2s i n439。39。c o s)2(s i n)2(39。*39。),s i nc o s(*.s i nc o s,01111212,12xxyBABAxxBxAxyyxAxBxBxAyxBxAxyxCxCYirr??????????????????????????????????：即此微分方程的特解為，并整理得：代入微分方程，則個(gè)特解為：設(shè)非齊次微分方程的一通解為：故對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解得特征根為：征方程為：對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特?????????????????????1102222,e2e)222(e239。39。,e)(*2DCDCCxDCCxxyyDCxyxxxx，并整理得：代入微分方程一個(gè)特解為：設(shè)非齊次微分方程的另.e)1(c o s2s i n2c o s,210)0(39。)0(,e)1(c o s2s i nc o s.e)1(*21212xxxxxxxxyCCyyxxxxCxCyxy???????????????????故微分方程得特解為：代入通解得：把解為：原非齊次微分方程的通：即此微分方程的特解為.2s i nc o s)(,2)(*.2,0,1:)1(,)(*.s i nc o s)(:,:,01:)1(,)()(39。39。:221222122???????????????????????????xxCxCxfxxfCBACBxAxxfxCxCxfirrxxfxfxQyP故式解得代入設(shè)的通解為從而對(duì)應(yīng)齊次微分方程解得特征根為為該微分方程的特征方程得由及全微分方程的通解。求為全微分方程且有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)設(shè))(,0])([])()([,1)0(,0)0(,)(.42 xfdyyxxfdxyxfyxxyffxf?????????.22c o ss i n2:,022c o ss i n2d,0d)2c o ss i n2(d)2s i nc o s2(:.2s i nc o s2)(.1,21)0(39。,0)0(222222221CxyyxxyxyxyyxxyxyyyxxxxxyxyxyxyxxxxfCCff??????????????????????????????????故全微分方程的通解為即該全微分方程為故代入得：把第四節(jié) 歐拉方程和常系數(shù)線性微分方程組 （ Euler）方程的解法 形如 ??? ???? 222111 nnnnnn yxpyxpyx).(1 xfypyxp nn ???? ??, 21 pp np,其中 … 為常數(shù) . 特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)恰等于與之相乘的 自變量的冪次數(shù) . 解法：作變量代換，設(shè) tex ? xt ln?，即 ),0( ?x dtdydxdyy ???dtdyxdxdt 1? ,11222 ?????? ???????????dtdydtydxdtdyxdxdy 代入歐拉方程，即可化為以 t 為自變量的常系數(shù)線性微分方程 ???????????dtdydtyddtydxy 23139。39。39。 22333 (消元法 ) 一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 ??????? ?njijiji nitfxadtdx1,2,1),( ?（ i）用求導(dǎo)、積分、四則運(yùn)算等由方程組中消去一 個(gè)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，得一個(gè)只含一個(gè)未知函數(shù)的高階微分方程 （ ii）解式（ i）中求得的微分方程，得其通解 . （ iii）把式（ ii）中求得的通解代入原方程組，求出另一個(gè)未知數(shù)
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