常微分方程第三章-資料下載頁
2025-06-29 11:50本頁面
【正文】 通過具體求解，證明初值問題（*），顯然是（*），用變量分離法求得和的區(qū)域內(nèi)的通解為 （**）對于的任何有限值，曲線（**）都不與相遇，因此，對軸上的點(diǎn)，仍只有唯一的積分曲線經(jīng)過此點(diǎn)，即是（*）的唯一解.此例說明，對于Cauchy問題解的存在性和唯一性，.設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且滿足不等式 ，其中是的連續(xù)函數(shù)，且瑕積分 （常數(shù)）則稱在區(qū)域內(nèi)對滿Osgood條件.顯然，李普希茲條件條件是Osgood條件的特例，因?yàn)闈M足上述要求.定理2 （Osgood） 設(shè)在區(qū)域內(nèi)對滿Osgood條件，則方程過內(nèi)每點(diǎn)至多有一個解.證明 ，使得方程過點(diǎn)有兩個解和，且至少有一個，使得，不妨設(shè)， ，則顯然有，且， 當(dāng)；.因此，即 ， （）從積分上式得 ，其中，但這不等式左端為，右端是一個有限的數(shù)，.再把條件減弱，只要求連續(xù)，就未必再有唯一性的結(jié)論了.例如：，在平面上連續(xù)， ，積分曲線如圖 所示，從左向右看，每個點(diǎn)上有三分叉的三條積分曲線，一條是，還有與相且的上下兩條曲線形積分曲線；事實(shí)上，過A點(diǎn)沿軸及①，②，③，④，⑤，⑥，…等曲線的每一條吻合成一條曲線，故過A點(diǎn)的積分曲線有無窮之多.最后，167。2.定理3 設(shè)在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù)，.7
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