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常微分方程--第五章線性微分方程組51-52節(jié)-資料下載頁(yè)

2025-01-20 04:56本頁(yè)面
  

【正文】 試證明以 n??? , 21 ?為基本解組的齊次線性微分 () 的解矩陣 , 另外因 ,02)(d e t 4 ?? tet?故 )(t? 是 () 的基本解組 . 所以其通解為 : .)( 3213212133??????????????????????????????? ttttttttececececcceeeectx ?例 設(shè) n??? , 21 ?在 ),( ???? 上線性無(wú)關(guān) , 方程組具有下列形式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中 , ),2,1( nix i ??是所求的一階微分方程組的 .,2,1,0)()()()()()(111111nittxttxdttddttdxnnnnninii?????????????????未知函數(shù) , ij?是 i?的第 j 個(gè)元素 . 證明 : 設(shè)所求的微分方程組為 .)( xtAx ??即 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??????????????????????.)()()(,)()()(,)()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxtaxtaxtaxxtaxtaxtaxxtaxtaxtax??????因?yàn)? i?是上面的微分方程組的解 , 且它構(gòu)成方程 組的基解矩陣 ).,()( 21 nt ???? ??因此 , 有 ).()()( ttAt ?? ??從而 ),()()( 1 tttA ??? ??把此式代入微分方程組 xtAx )(??得 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)()( 1 xttx ???? ??() 另一方面 , 因?yàn)? )()()()()()(111111ttxttxdttddttdxnnnnninii??????????????)()()()()()()())(d e t (2222211211ttxttxttxttxnnnnnnii??????????????????? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )()()()()()()()1(1112212111111ttxttxttxtnnnnnninn???????????????????????? ?? ????????njnjjjijjii xxtx1 12211 )()([))(d e t ( ?????? ?????????njijnjinn txx1))(d e t ()]()1( ??? ? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Tnnnnnnniniixxx ),(),(2121222121211121????????????????????? ????這里 ij?是 ))(de t( t?中元素 ij?的代數(shù)余子式 , 且 () ).())(de t (1212221212111ttnnnnnn?? ??????????????????() 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 把 () 代入 () 得 ].)(),())[(d e t ()()()()()()(121111111xtxtttxttxdttddttdxiniiinnnnninii???????????????????????????再由 () 即可以得到上式右端為零 . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 已知線性齊次微分方程組的兩組解為 312 3( ) , ( )tttteex t x tee??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?試求該微分方程組 解 : 顯然 線性無(wú)關(guān) ,由例 () 12( ), ( )x t x t知所求微分方程為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 39。313 2 39。 2 21 1 1 23232 2 4 0ttt t t t tttx e ex e e e x e x e xx e e????? ? ? ? ??及 39。313 2 39。 2 21 2 1 23232 4 2 0ttt t t t tttx e ex e e e x e x e xx e e???? ? ? ? ?? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所以 ,所求方程組為 39。1 1 239。2 1 222x x xx x x? ???????? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、非齊次線性微分方程組解的結(jié)構(gòu) ( ) ( )x A t x F t? ?? ( ) ()x A t x? ? ( ) 解的一些簡(jiǎn)單性質(zhì) : 性質(zhì) 1 如果 )(t? 是 () 的解 , )(t? 是 () 是 () 的解 . 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 () 的解 , 則 )()( tt ?? ? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 性質(zhì) 2 如果 )(1 t?是 () 的兩個(gè)解 , )(2 t?和 是 () 的解 . )()(21 tt ?? ?則 )(txj性質(zhì) 3 設(shè) ),()()()( 21 tFtFtFtF m???? ?且 是 () 的解 . 的解 , 則 ???mjj txx1)(是方程組 )()( tFxtAx j??? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 (通解結(jié)構(gòu)定理 ) ()的某個(gè)解 ,則非齊次線性方程組的任 一解 ()t?證明 : 由性質(zhì) , )()( 0 tt ?? ?是方程組 () 的解 , 再由定理 得到 .)()()( 0 cttt ??? ??()t? 0()t?設(shè) 是方程組 ()的一個(gè)基解矩陣 , 是方程組 可表示為 0( ) ( ) ( )t t c t? ? ???其中 c為確定的常數(shù) 列向量 . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由此得 .)()()( 0 cttt ??? ??因此 ,在求 ()的通解 ,只需求出對(duì)應(yīng)的齊次 線性微分方程組 ()的基本解組和 ()的任 一解即可 . 下面介紹用常數(shù)變易法求解方程組 ()的特解 . ()t?設(shè) 是方程組 ()的一個(gè)基解矩陣 ,于是 方程組 ()的通解為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 待定的函數(shù)列向量 c(t),試圖尋找 ()的形如 cttx )()( ??() 其中 c為確定的常數(shù)列向量 ,若將 c看成是關(guān)于 t的 )()()( tctt ?? ?的解 ,把 ()代入 ()得 )()()()()()()()( tFtcttAtcttct ????? ???因?yàn)? )(t?是 ()的基解矩陣 ,所以 )()()( ttAt ?? ?? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因此 ,c(t)滿足下面的方程組 )()()( tFtct ???又因?yàn)? )(t? 是可逆的 ,從而得 )()()( 1 tFttc ??? ?對(duì)上述方程組從 0t到 t 積分 ,并取 0)( 0 ?tc得 ],[,)()()( 010battdssFstc tt?? ? ??因此 ,()變?yōu)? dssFstt tt???0)()()()( 1???() 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 反之 ,可驗(yàn)證 ()是 ()滿足初始條件 0)( 0 ?t?的特解 . 定理 若 是 ()的基解矩陣 ,則 ()t?( 1)向量函數(shù) 是 ()的解 ,并滿足 0 ( ) 0t? ?(2) ()的通解是 dssFstcttx tt????0)()()()()( 1???dssFstt tt???0)()()()( 1??? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由定理 ,方程組滿足初始條件 00 )( xtx ?的解 )(tx 可由下面公式給出 dssFstxtttx tt??? ??0)()()()()()( 1001 ????() 公式 ()稱為方程組 ()的 常數(shù)變易公式 . 例 求方程組 ???????????????????02112 2 texx的通解 . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?????????? tttteeeet33)(?解 由例 是對(duì)應(yīng)齊次方程組的基解矩陣 ,求 )(t? 的逆 矩陣得 ???????? ?? ?????tttteeeet33121)(?由 ()得方程組的特解為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 dseeeeeeeeet stsssstttt???????????????? ??????????? ? ????021)( 20 3333?????????????ttttteeeee233221所以原方程的通解為 ??????????????????????ttttteeeeectxxtx 23321221)()( ? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?????????????????????)2(21)(21233213321ttttttttteeeececeeecec
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