【正文】 ?613121132232332223322321baCaCaCaCaCCCC六個未知數(shù)，二個自由 ， 故可取 21216132613232321??????baaCCC，，? ?? ?? ?213121321122121,461hKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyymmmmmmmm???????????????????，故： 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 61 N=4: 四級四階 RK方法 ? ?? ?? ??????????????????????????????????????????342312143211,21,2121,21,226hKyhxfKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKKhyymmmmmmmmmm 最常用的古典 RungeKutta方法。 增加計算函數(shù)值的次數(shù)（級）與提高精 度（階）的關(guān)系見下表： 級 N 2 3 4 5 6 7 n ? 8階 P 2 3 4 4 5 6 n ? 2表 RungeKutta方法中 級 與 階 的關(guān)系 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 62 ? ?? ?各種解法精度比較：例高精度方法的主要優(yōu)缺點???????1022).1(239。yyxxyKRXmE u l er 改進 E u l er R— K ( 4 階 ) 精確解 00 0 000 4201. 73842. 10412. 55693. 1 18 3 13 9 74 7 37 6 47 2 00 0 2 10 9 23 284 4662. 76803. 41744. 22575. 22886. 47048. 0032 00 0 22 1 97 7 43 2 78 3 27 4 20 1 92 7 89 4 64 3 83 4 00 0 22 1 97 7 43 2 78 3 27 4 20 2 92 8 89 5 64 5 83 6表 各種解法在例題中的結(jié)果比較 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 63 （ 2） . 單步法，自動起步 （ 3） . 易改為變步長 （ 4） . 絕對穩(wěn)定區(qū)域較同階線性多步法大 （ 5） . 計算工作量較大，有時大于隱式方法 （ 6） . 估計誤差不易 絕對穩(wěn)定性討論 mmmmyhhhyfhfhhfyyyyN?????????????????332239。39。339。2139。!3!2!3!23????此時：為例。取典型方程以浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 64 ? ?? ?DKRhhhhhhhyyhhhymmimimmm區(qū)域方法的絕對穩(wěn)定一般地，各級時，當其根為：故特征方程：????????????????????????????????????61211061211!3!211321321321?????級 ? 1 D1234( 2, 0)( 2, 0)( 2. 51 ,0 )( 2. 78 ,0 )43232224161211612112111hhhhhhhhhh??????????表 各級 RK方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 65 ? ?? ?? ?????????????????????????0,0,1020221139。hhhhyyyKRhhKR，取方法計算用四級經(jīng)典例絕對穩(wěn)定區(qū)域。使方法時，要取在使用x h1時的誤差 h2時的誤差0. 00. 20. 40. 60. 81. 000 .0 92 79 50 .0 12 01 00 .0 01 36 60 .0 00 15 20 .0 00 01 704. 9825 .012 5. 062 5. 031 25 .0表 不同步長對精度的影響 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 66 ? ?? ?? ? ? ?。可能導致舍入誤差積累的計算量，步長太小：增加不必要非絕對穩(wěn)定。步長太大：精度不夠，實際步長選?。和馔萍记?。需用選取誤差估計和實際步長的屬于絕對穩(wěn)定區(qū)域。近似確定步長。使可以用常數(shù)的問題對于R ic har ds onxhxhxxyfmm????????浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 67 ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?是適當?shù)?。，則認為，若對給定誤差估計方法：對四階方法自選步長的21222112211444544211541215411hyychhOchyyhOhcxyyhOchxyyKRKRhmhmhmhmmhmmhm?? ??????????????????????????????????????????浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 68 P階 圖 變步長 RungeKutta方法框圖 ? ?00,0 , xyym PhX?? ?給定? ?211 211m a x , hmhm hmhm yy yy ?? ?? ??? 計算???hmmmmyyhxx111??????hh ?2Xxm ??1?121??? P? ??,2,1,?myx mm輸出hh?21??mmYYNNYNhh ?? ?hh?4hh ?? ??5 ???????? 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 69 ? ? 展開：處在 T a y lo ryxKK mm , 32? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?xymyymxxymxmmmmmmmmmmfKbfbaahfKbfbahfhafKbfbahfhafKyxffhayffhaxfhayffhaxfhafK2323233222323232232323233322222222222222!2!2!2!2???????????????????????????????????????????????????????????????????? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????????????????????????????111111111!,3,2,PPmPmmijiijijjijmimimmmNiiimmhOPhxyxyxyabNiKbhyhaxfKfyxfKKChyy?? 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 70 ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?000!0!20!10)),,239。1139。39。239。11011??????????????????????hyyxyT ayl orRRysxyxyxyxyT ayl orxybKRayyykyyyysssskkmkmmm前三個點的值級數(shù)求初值問題例：用不影響所需精度為止。直至展開式：的用精確解計算所需點上的值。方法，或用小步長高精度用單步法求出方法取得。的值可以通過兩種出發(fā)值步方法??? 出發(fā)值的計算 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 71 ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?004999 16012012100000000721352615102510243232221,10185276439。39。39。39。7639。539。39。439。39。39。86539。439。39。239。39。39。75439。39。39。39。39。39。6439。39。39。39。239。39。539。39。39。39。39。39。439。39。239。39。39。39。39。39。39。239。2???????????????????????????????????