【正文】 er） 方法 Euler方法是求解 (68)最 簡單 方法， 但 精度差 ，故 不實用 。量的顯示形式，有的解可以表示為自變故得不到精確解。1139。而下面方程是 隱式 的。 (61)(62)叫做 初值問題 。浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 1 第六章 常微分方程及 方程組的解法 常微分方程及其求解概述 初值問題解法 邊值問題解法 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 2 常微分方程及其求解概述 初值問題解法 Gear方法 邊值問題解法 (試射法 ) ? ?Eq u a t io n salD if f e r e n t iO r d in a r yO D E s浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 3 常微分方程及求解概述 （ Ordinary Differential Equations, ODE) 基本概念 描述自由落體的 ODE: ? ?? ?? ?? ? ? ?的運動軌跡。亦稱定解 條件。方程（ 64）是 顯式的。2239。而的解是例如但仍然得不到精確解。 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 10 初值問題解法 我們討論一階 ODE，而高階可 能化為一階 ODEs。若其中等分，得到節(jié)點分成把111000,2,1,1,0:,???????????iiiiiihnihxxnxXhniihxxxnXx??11110 xxxxx ?0y0y0y?? ? ???? 圖 常微分方程初值問題的數(shù)值解 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 13 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 公式。公式得即并使得舍去余項分，得并用左矩形公式計算積令改寫成積分形式把用數(shù)值積分法構(gòu)造96,86)1???????????????E ul e ryhxyRRxyxhfxyhxyxxdxxyxfxyhxyiiiiiiiiiiihxx? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?1061,1,0,200111 ???????????? ???niyxyyxfyxfhyy iiiiii? 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 16 ? ?? ?? ? ：改為以下預(yù)估一校正式一般地，把隱式格式隱式。39。 定理： 若 f(x,y)關(guān)于 y滿足 Lipschitz條件。39。則條件，的事實上，若方法是穩(wěn)定的。它具有故可取則階方法計算若用11221462136:,121212?????????????????phOxyxyxyhOhcxyxyhOhcxyxyxyxyppphhpPppphppphhh? ? ? ? ? ?? ? ? ?156212 1 2 ???? xyxyxy hhpp浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 31 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1221146136????????pppphhhOhCxyxy：，由估計。其值見表其中E ul e rkdxxDxDhbmmxximimkimkki01 1,?? ?????(?) 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 36 i 0 1 2 3 4 5b0 i 2 b1 I12 b2 I24 b3 I720 b4 I1440 b5 i1323551901427711 65 92 7 7 47 9 2 35372616998291 2 7 47 2 9 82512877 4 7 5? ?211 51623122??? ?????mmmmm fffhyyk 時，線性多步法為例如：Adams 外插法 (k=2) 3階 3步 顯式 ? ? ?? ? ? ?2?m1?mm表 外插系數(shù) bki值 圖 3階 3步外插法 ?浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 37 ? ?? ?，舍入誤差也小。等步長圖 一般化插值形式 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 42 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????????krrkrrrkiiikrrrkrkrCiCCxyhCxhyCxyChxyxyihxihyxyihxyxyihxihyxyihxyT ay lor???????????1211210110039。39。 絕對穩(wěn)定區(qū)域。此時應(yīng)減小步長。 設(shè)絕對穩(wěn)定區(qū)域： 達(dá)到精度的校正次數(shù)為 N，則 h的選取， 應(yīng)滿足： 否則可用 N步顯式算法穩(wěn)定達(dá)到目的 。32332223223231332232132?????????????????????????ihhOGFfhFhhfxyhxyfffffGxyfffFhOGaCaCFfbaChFaCaChfCCCKCT ay l oryxKKiymmyyxyxxyxyiiimm浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 60 ???????????????????613121132232332223322321baCaCaCaCaCCCC六個未知數(shù)，二個自由 ， 故可取 21216132613232321??????baaCCC，? ?? ?? ?213121321122121,461hKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyymmmmmmmm???????????????????，故： 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 61 N=4: 四級四階 RK方法 ? ?? ?? ??????????????????????????????????????????342312143211,21,2121,21,226hKyhxfKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKKhyymmmmmmmmmm 最常用的古典 RungeKutta方法。hhhhyyyKRhhKR，取方法計算用四級經(jīng)典例絕對穩(wěn)定區(qū)域。1139。39。86539。39。239。439。39。39。39。6439。39。39。直至展開式：的用精確解計算所需點上的值。需用選取誤差估計和實際步長的屬于絕對穩(wěn)定區(qū)域。339。取的展開，并比較進(jìn)行把PPPT ay lorxyT ay lorK mi?10(11??浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 58 時，有當(dāng)公式的階數(shù)。通稱為算式。這是個非線性方程已知。階階及外插及內(nèi)插法為隱式顯式由此得于是：充分大，使次連續(xù)可微，則可取有因此，若kkkA d a m sxyhCfhyCCCkrxykkkirrrihxiir100.01011110???????????????????????????? ?? ??? ?kikiimiimi fhykr0 0??步方法：階線性浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 44 ak ??? 02 ,1,22?? 記步法：例，考慮 ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????????????????????????04!218!31024!210201211321122101110???????????CCCaC解之得：? ?? ?? ??????????????????????aaaa5121132,51121,12101????浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實用數(shù)值計算方法》 45 ? ?方法型：它是以下階方法時，階的方法是時，故同時，可以算出：故一般二步法為：eMiSi m ps onCCaCaln40,013,01544?????????? ?? ? ? ? ? ?? ?mmmmmmfafafahayyay51185