常微分方程31可降階的高階微分方程-資料下載頁
2025-04-29 06:42本頁面
【正文】 意味著有較小的空氣阻力．試建立微 分方程模型來論述這種解釋是否合理． 例 Bob Beamon的跳遠記錄 30 解 例 設位于坐標原點的甲艦向位于 x軸上點 A(1,0) 處的乙艦發(fā)射制導導彈 , 如果 乙艦以最大的速度 v0(v0是常數(shù) )沿平行于 y軸的 目標的跟蹤問題 導彈頭始終對準乙艦 . 直線行駛 ,導彈的速度是 5v0, 又問乙艦行駛多遠時 ,它將被導彈擊中 ? )( xyy ?)0,1(A?),( yxP),1( 0tvQ?設導彈的軌跡曲線為 ),( xyy ? 并設經(jīng)過時間 t , 導彈位于點 P (x, y), 乙艦位于點 Q(1, v0t) 由于導彈頭始終對準乙艦 , 直線 PQ就是導彈的軌跡曲線弧 OP在點 P處的切線 , 求導彈運行的曲線方程 . ,10 x ytvy ????Oyx31 Oyx)( xyy ?)0,1(A?),( yxP),1( 0tvQ?,10 x ytvy ???? 即 .)1(0 yyxtv ????如果乙艦以最大的速度 v0(v0是常數(shù) )沿平行于 y軸 的直線行駛 ,導彈的速度是 5v0, 弧 OP的長度為 | AQ |的 5倍 , 即 .5d1 00 2 tvxyx ????(1) (2) 由 (1)式與 (2)消去 v0t 就得 .d151)1( 0 2 xyyyx x? ?????? 積分方程 (3) 32 .d151)1( 0 2 xyyyx x? ?????? 積分方程 (3) 將 (3)式兩端對 x求導并整理 ,得 .151)1( 2yyx ??????方程 (4)轉化為 ,py ??令 初值條件 : Oyx)( xyy ?)0,1(A?),( yxP),1( 0tvQ?.0)0(,0)0( ??? yy(4) ,151)1( 2ppx ????.)1(5 d1 d 2 xxpp ??? 可分離變量方程 分離變量 ???不顯含未知函數(shù)的二階微分方程初值問題 . 33 .)1(5 d1 d 2 xxpp ???兩邊積分 ,ln)1l n (51)1l n ( 2 Cxpp ?????? 根據(jù)初始條件 ,0)0( ?p,)1(ln 51??? xC 即 ,)1(1 512 ????? xCpp 得 .1?C 得 .)1(1 512 ??????? xyy 將 (5)式有理化 ,得 (5) .)1(1 512 xyy ?????? (6) (5) + (6),得 .)1()1(21 5151?????? ????? ? xxy34 根據(jù)初始條件 得 .245?C.)1()1(21 5151?????? ????? ? xxy.)1(125)1(85 5654Cxxy ??????,0)0( ?y于是有 .245)1(125)1(85 5654?????? xxy這就是 導彈運行的曲線方程 . 又問乙艦行駛多遠時 ,它將被導彈擊中 ? Oyx)( xyy ?)0,1(A?),( yxP),1( 0tvQ? 得 ,1時當 ?x 當乙艦航行到點 ?????? 245,1 時被導彈擊中 . ,245?y35 作業(yè) : P113 1(1,6)， 2(1,2,3), 3(2,4
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