【正文】 ? ??? ? ?? ? ????2113 4 1 1 1 1()( 1 ) ( 1 ) ( 2) 1 1 22 1 1()( 1 ) ( 1 ) 1 1ssXss s s s s sXss s s s? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ??利用 Laplace變換求 的基解矩陣 x A x? ?考慮滿足初值條件 的解 ( 0)??? ()t?? ?12 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) TnX s t X s X s X s????( ) ( ) . ., ( ) ( )sX s A X s i e sE A X s??? ? ? ? ?1( ) ( )X s sE A ??? ? ?1 1 1( ) [ ( ) ] [ ( ) ]t X s sE A? ? ? ?? ? ?? ? ? ?()t? ? ?1 1 1 1 1 112[ ( ) ] , [ ( ) ] , , [ ( ) ] . ( 0 )ns E A e s E A e s E A e? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???E?解 :由公式 得 例 4 求 的一個(gè)基解矩陣 3 1 12011 1 2xx??????????????1( ) ( )X s sE A ????1112233( ) 3 1 1( ) 2 1( ) 1 1 2X s sX s sX s s??????? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ?123111112()det( )c ramssXss E A?????????法1 2 32( 1 )( 2 )ss? ? ?? ? ???1232312112()de t ( )ssXssE A???????????21 2 32( 2 3 ) ( 5 5 ) ( 1 )( 1 ) ( 2 )s s s sss? ? ?? ? ? ? ? ????123331211()de t( )ssXssE A???????? 312= ( 1 ) ( 2 ) 2s s s???? ?? ? ?? ? ? ?1 2 3= 1 0 0T T? ? ? ? ?211 211( ) , . . , ( ) ( 1 )2 ( 2 )tX s i e x t t ess? ? ? ? ???2 21 1 1( ) ,1 2 ( 2 )Xs s s s?? ? ?? ? ? 22. ., ( ) ( 1 ) tti e x t t e e? ? ?311( ) ,21Xs ss????23. ., ( ) tti e x t e e??2212( 1 )( ) ( 1 )ttttttet t e eee??????? ? ? ??????? ? ? ?1 2 3 = 0 1 0T T? ? ? ? ?211 21( ) , . . , ( )( 2 )tX s i e x t tes?? ? ? ??222 211 ( ) , . . , ( )1 ( 2 )ttX s i e x t e tess? ? ? ???23311 ( ) , . . , ( )12ttX s i e x t e ess? ? ? ???2222()ttttttet e teee??????? ? ????????? ? ? ?1 2 3 = 0 0 1T T? ? ? ? ?211 21( ) , . . , ( )( 2 )tX s i e x t tes? ? ??222 21( ) , . . , ( )( 2 )tX s i e x t tes???2331( ) , . . , ( )2tX s i e x t es???2232()ttttet tee??????? ??????令 基解矩陣為 ? ?1 2 3 ( ) ( ) , ( ) , ( )t t t t? ? ???2 2 22 2 22 2 2( 1 )= ( 1 )t t tt t t t tt t t t tt e te tet e e e te tee e e e e??????? ? ??????? 是方程組 的定義于區(qū)間 上且滿足初始條件 的解，則 是積分方程 的定義于 的連續(xù)解。 第八講練習(xí) 一、填空題 是 矩陣 ， 是 維列向量 ， 則 時(shí)，方程組 滿足初始條件 的解在 上存在惟一。 ()At nn? ()ft n39。 ( ) ( )x A t x f t??0()xt ?? a t b??()t? 39。 ( ) ( )x A t x f t??a t b??0()t??? ()t?a t b?? 是常系數(shù)線性方程組 的基解矩陣， 則 。 ()t? 39。 ()x A t x?exPAt ? A具有 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ， 它們對(duì)應(yīng)的特征值分別是 ，那么矩陣 是常系數(shù)線性方程組 的一個(gè)基 解矩陣。 12, , , nv v v12, , , n? ? ? ()t? ?39。 ()x A t x? ， 的近似解時(shí)，若取 ，則 。 )()( xfxtAx ?????)( 0tx ?? ?)(0 t ?)(tk? 和 都是 的基解矩陣，則 與 具有關(guān)系： 。 )(t? xtAx )(??)(t?)(t?)(t? 具有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 它們對(duì)應(yīng)的特征值分別是 那么矩陣 是常系數(shù)線性方程組 的一個(gè) 基解矩陣。 A n , 21 nvvv ?, 21 n??? ? ()t??Axx ?? 分別是矩陣 的 重不 同特征值，且 則 的滿足初始條件 的解 為： 。 k??? , 21 ? A knnn , 21 ?12 , ( ) 0 ,jnk j jv v v A E v??? ? ? ? ? ?Axx ?? ?? ?)0(1, 2 , ,jk?二、計(jì)算題 39。 0110xx???????? 12xxx???????0(0 )1x???????滿足初始條件 第三次近似解。 的通解 . 39。1139。221223xxxx??? ??????? ??????? ???? ，試求 。 exp At?????????2112A4. 求方程組 ????????????????????3213223211674452xxxxxxxxxx的基解矩陣 . 的特征值和特征向量 . ???????? 4112A ，其中 的基解矩 陣，并求滿足初始條件 的解 . xtAx )(/ ??????????????115118301A?? ?)0( )(t?