【正文】 ix i ||||||||21??? ???? ???????????????????????dxfdxunMdxuMdxfudxundxuMnixnixii22122221221)21(||)(212||22????取 ,則由 ()及假設(shè) ()可得 M2?? ?? ??? ? ???? ???nixnix dxudxcudxu ii12212 ||2|| ?.21212 222 ????????????? ?? dxfdxunM?令 ,則當(dāng) 時(shí)就有 2120 ?? ??nM 0???c)(.21||2212 ?? ??? ?? dxfdxunix i?利用邊界條件 ()及弗里德里克斯不等式 (),可知存在不依賴于 的正常數(shù) ,使成立 u C.)||( 2122 ?? ??? ??? dxfCdxuunix i證畢 . . 2210220( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , 0) ( ) , ( , 0) ( ) ( 1 )| 0 , | 0x x lu u u ub x t b x t c x t u f x tt x x tuu x x x xtuu????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????引入能量函數(shù) 2201( ) ( )2ltxE t u u d x d t???有如下定理 : 定理 ： 若 為初值問(wèn)題 (1)的解 ,則成立如下不等式 ),( txu200( ) ( 0) , 0 ,tlC t C tE t E e C e f dx dt t T? ? ? ???其中 為一個(gè)不依賴于 的正常數(shù) . C u證明： 令 乘以上式 ,并在 上關(guān)于 積分 ,得到對(duì)任何 成立 tu [0, ]lx)0( Ttt ??21000( ) . ( 2)llt tt t x x t x t t tu u u u b u u b u c uu dx f u dx? ? ? ? ???(2)左端第一式可寫(xiě)為 。第二式利用格林公式進(jìn)行分部 積分 ,并注意邊界條件 ,即 ,邊界積分為零 ,于是第二項(xiàng)可以寫(xiě)為 ?? dxudtd t2210|0xltxu ?? ?00 0 0 020( ) |12l l l llt x x t x x t x x t x x x tlxu u d x u u d x u u d x u u u u d xdu d xdt? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??2 2 2101 ( ) ( ) ( 3 )2 t x t x t t td u u d x b u u b u c u u d x f u d xdt ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ?并將其簡(jiǎn)記為 ( , , ) , ( 4 )t x tdE p u u u d x fu d xdt ??????于是 (2)變?yōu)? 其右端第一項(xiàng)表示將（ 3）的右端除 外的所有其余積分 項(xiàng)移到右端的結(jié)果。有 dtdE2221( , , ) ( ) , ( 5 )t x t xp u u u dx C u u u dx?? ? ? ???其中 是一個(gè)正常數(shù)。為了估計(jì) 在 上的積分，我們證明如下事實(shí)。 1C2u [0, ]l22000 , ( 6)llxu dx C u dx???引理 ： 設(shè) 在 上連續(xù)可微，且在邊界上為零，則成立如下的弗里德里克斯（ Friedirichs）不等式： [0, ]l( , )u x t其中 是一個(gè)與 無(wú)關(guān)的正常數(shù)。 0C u證明： 對(duì)于任意的一點(diǎn) ，成立 [0, ]xl?0( , ) ( , ) ,xxu x t u x t d x? ?對(duì)于利用施瓦茨（ Schwarz）不等式 得 2 2 200( , ) ( , ) ( , ) .xlxxu x t x u x t d x l u x t d x????將上式兩端在 上對(duì) 積分，得 x2 2 2 20 0 0( , ) .l l lxxu x t d x l u d x d x l u d x??? ? ?2 2 2( ) ,b b ba a afg dx f dx g dx?? ? ?[0, ]l利用（ 6）式，由（ 5）有 221 0( , , ) ( ) ,lt x t xp u u u d x C u u d x? ????其中 是一個(gè)與 無(wú)關(guān)的正常數(shù)。再注意到 1C u,)(21 22 dxfuf d xu tt ?? ????由（ 4），就得到能量函數(shù) 滿足 2( ( ) ) , (7 )dE C E t f d xdt ??? ?)(tE其中 也是一個(gè)與 無(wú)關(guān)的正常數(shù)。在（ 7）兩邊乘以 再對(duì) 積分，即可得 CCte?t.)0()( 0 2? ???? tCtCt d xd tfCeeEtE定理得證。 t . 0( , ) ( , ) ( ) .( , 0) ( ) ( 1 )| 0 , | 0t x x xx x lu u b x t u c x t u f xu x xuu???? ? ? ????定理 ： 若 為初邊值問(wèn)題（ 1）的解， 則成立能量估計(jì)式 ),( txu,21)( 2??? dxutE20( ) ( 0) , 0 , ( 2)tCt CtE t E e e f dx dt t T?? ? ? ???其中 為一個(gè)不依賴于 的常數(shù)。 C u證明： 在方程（ 1）兩邊乘以 ，然后在 上關(guān)于 積分 u [0, ]l x00( ) . ( 3 )llt x x xu u u bu c u dx f ud x? ? ? ???上式左端第一項(xiàng)可寫(xiě)為 。21 2?????? ?? dxudtd對(duì)其第二項(xiàng)關(guān)于 利用格林公式進(jìn)行分部積分，注意到邊界條件 分部積分中出現(xiàn)的邊界積分項(xiàng)為零，于是第二項(xiàng)可寫(xiě)為 200( ) .llx x xuu dx u dx????將上式的第二項(xiàng) ,連同 (3)左端的第三第四項(xiàng)移到 (3)右端 ,將其記為 ,),(?? dxuuQ x則對(duì)一切 成立 Tt ??022( , ) ( ) , ( 4)x T xQ u u dx C u u dx?? ????其中 為一個(gè)僅依賴 的正常數(shù) ,但與 無(wú)關(guān) .對(duì)任給的 ,有 0??220 0 01| || | ,22l l lxxu u d x u d x u d x????? ? ?xTC Tu取 ,由 (4)就可得 TC?? ?22100( , ) , ( 5 )2llxxQ u u d x u d x C u d x????? ? ?其中 ,將 (5)代入 (3)就可得 TT CnCC ???2212 2 2 210 0 0 011( ) ( 6 )2 2 2l l l lxxdE u d x u d x C u d x f d xdt?? ? ? ? ?? ? ? ?就可得 22200 ()llxdE u d x C E t f d xdt ? ? ??? . 0( ) ( ) ( ) .| 0 , | 0 ( 1 )x x xx x lu b x u c x u f xuu??? ? ???定理 ： 存在一個(gè)依賴于區(qū)域 以及 的最大值的正常數(shù) 在 時(shí) ,問(wèn)題 (1) 的解 滿足 [0, ]l ()bx0?0)( ???xc)(xuu ?其中 為一個(gè)不依賴于 的正常數(shù) . C u證明 :方程 (1)兩邊乘以 ,然后在 上積分 ,得 u [0, ]l200( ) . ( 3 )llx x xuu bu u c u dx f ud x? ? ???2 2 200( ) . ( 2)llxu u dx f dx????將上式左端第一項(xiàng)利用格林公式進(jìn)行分部積分 ,并利用邊界條件 (),得到 2200 0 0( ) | . ( 4)l l llx x x x xuu dx u uu u? ? ?? ? ?于是（ 3）式可寫(xiě)為 220 ( ) , (5 )lxu c u d x I???其中 00 , ( 6)llxI bu u dx f ud x????記 ? ?[ 0 , ]m a x | ( ) | , ( 7 )xlM b x??02 | | | | | | | |lxI M u u dx f u dx?????2 2 2 20 0 02 2 20012 ( )2 2 211()22l l lxllxnM u d x u d x u f d xnMM u d x u d x f d x???? ???? ? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ?取 ,則由 (5) 可得 M2?? ?2 2 20 0 02l l lxxu d x c u d x u d x???? ? ? 2 22002 1 1 .22llnM u d x f d x???? ? ????? ??令 ,則當(dāng) 時(shí)就有 2120 ?? ??nM0???c22001 . ( 8 )22llxu d x f d x? ???利用邊界條件 ()及弗里德里克斯不等式 (),可知存在不依賴于 的正常數(shù) ,使成立 uC2 2 21( ) .nxiu u d x C f d x????????證畢