數(shù)值分析--第9章常微分方程數(shù)值解-資料下載頁
2025-08-23 01:54本頁面
【正文】 (951)Hamming公式是四階三步隱式公式。由于線性多步法公式(936)，只有在知道了前面的之后，才能使用。所以開頭的的值必須先用同階的單步法（Taylor級數(shù)法或RungeKutta法）求出，然后才能用線性多步法公式（例如，若使用四階線性多步法公式，必須用同階單步法，算出）。例6 分別用四階Adams顯式和隱式公式求初值問題的數(shù)值解，取。解 根據(jù)題意，由四階Adams顯式公式(943)有 由四階Adams隱式公式(944)有 由上式可解出 利用精確解求出起步值（一般可用四階RK公式計算起步值）后，按上面的公式計算，Adams顯式法Adams隱式法00，四階Adams隱式法比顯式法的精度高，比較這兩種方法的局部截斷誤差公式(945)與(947)，可以說明這一現(xiàn)象。一般地，同階的隱式法比顯式法精確，而且數(shù)值穩(wěn)定性也好。但在隱式公式中，通常很難用迭代法求解，這樣又增加了計算量。因此實際計算時，很少單獨使用顯式公式或隱式公式，而是將它們聯(lián)合使用：先用顯式公式求出的預測值，記作，再用隱式公式對預測值進行校正，求出的近似值。 預測校正系統(tǒng)一般地，采用同階的顯式公式與隱式公式配對使用，即把由顯式求出的（記）作為的預測值，然后再代入隱式公式進行校正，求出更接近的值。這樣就構(gòu)成了預測校正系統(tǒng)。采用的預測校正系統(tǒng)有兩種：Adams顯式隱式公式 (952)MilneHamming預測校正系統(tǒng) (953)說明：(1) 以上兩種預測校正公式均為四階公式，其起步值通常用四階RK公式計算。(2) 有時為提高精度，校正公式可迭代進行多次，但迭代次數(shù)一般超過3次。為減少一次迭代所產(chǎn)生的誤差，常常用局部截斷誤差進一步修正預測值與校正值，得到更精確的預測校正公式。下面分別對Adams預測校正公式與MilneHamming公式進行討論。由Adams公式的局部截斷誤差公式 (954) (955)兩式相減得從而有將上式代人(954)，(955)，得 (956) (957)用式(956)，(957)修正公式(952)，就得到多環(huán)節(jié)的Adams預測校正公式 (958)第二式本該，但因計算的公式在后，只好用近似替代。完全類似地，可以導出多環(huán)節(jié)的MilneHamming預測校正公式（也稱為Hamming方法） (959)上述預測校正公式的優(yōu)點是每算一步只需計算兩個函數(shù)值，計算量小于四階RK方法，而且在計算過程中已大致估計出誤差。它們不足之處在于必須利用別的方法進行啟動。(1) 輸入(2) 置(3) 計算輸出(4) 若，置，返回3；否則，置，轉(zhuǎn)6。(5) 計算輸出(6) 若，置，轉(zhuǎn)6；否則停機。5 一階微分方程組與高價微分方程的數(shù)值解法 一階微分方程組的數(shù)值解法設(shè)有一階微分方程組的初值問題 (960)若記，則初值問題(960)可寫成如下向量形式 (961)如果向量函數(shù)在區(qū)域：連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件，即存在，使得對，都有那么問題(961)在是存在唯一解。問題(961)與問題(91)形式上完全相同，故對初值問題(961)所建立的各種數(shù)值解法可全部用于求解問題(961)，只需將換成向量，換成即可。例如，對問題(961)，Euler方法的計算公式為 (962)其中，其分量形式為改進Euler法的計算公式為 (963)經(jīng)典四階RK公式為 (964)其分量形式為 (965)一般地，用于問題(961)的單步法公式為其中是元的維向量函數(shù)。為便于理解，下面用含有兩個方程的方程組（）具體說明。設(shè)有初值問題 (966)它的經(jīng)典四階RK公式為 (967) (968)計算過程為從節(jié)點處的近似解出發(fā)，按式(968)順序計算，將所得結(jié)果代人式(967)，即得處的近似解。 高價微分方程的數(shù)值解法高價微分方程的初值問題可以通過變量代換化為一階微分方程組初值問題。設(shè)有階常微分方程初值問題 (969)引入新變量，問題(969)就化為一階微分方程組初值問題 (970)例7 用四階RK方法求解初值問題 (971)解 引入新變量，問題(971)化為如下形式按式(969)，(970)求解。因為，由式(970)得將上述結(jié)果代人式(969)得類似地，可計算以后各節(jié)點處的近似解，023026
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