數(shù)值分析--第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分-資料下載頁
2024-09-01 01:55本頁面
【正文】 5 高斯求積公式 一般理論等距節(jié)點的插值型求積公式，雖然計算簡單，使用方便，但是這種節(jié)點等距的規(guī)定卻限制了求積公式的代數(shù)精度。試想如果對節(jié)點不加限制，并適當(dāng)選擇求積系數(shù)，可能會提高求積公式的精度。Gauss型求積公式的思想也正如此，亦即在節(jié)點數(shù)固定時，適當(dāng)?shù)剡x取節(jié)點與求積系數(shù)，使求積分公式具有最高精度。設(shè)有個互異節(jié)點的機械求積分公式 (227)具有次代數(shù)精度，那么有取，式(1)精確成立，即 (228)式(2)構(gòu)成階的非線性方程組，且具有個未知數(shù)，所以當(dāng)給定后，只要，即時，方程組有解。這表明式個節(jié)點的求積公式的代數(shù)精度可達(dá)到。另一方面，對式(1)，不管如何選擇與，最高精度不可能超過。事實上，對任意的互異節(jié)點，令有，然而。定義4 如果求積分公式(427)具有次代數(shù)精度，則稱這組節(jié)點為Gauss點，相應(yīng)公式(427)稱為帶權(quán)的高斯求積公式。定理5 插值型求積公式的節(jié)點是高斯點的充分必要條件是以這些節(jié)點為零點的多項式與任何次數(shù)不超過的多項式帶權(quán)正交，即 (429)證明 必要性。設(shè)，則，因此，如果是高斯點，則式(1)對于精確成立，即有故式(429)成立。再證充分性。對于，用除，記商為，余式為，即，其中，由式(429)可得 (430)由于所給求積公式(427) 是插值型的，它對于是精確成立的，即再注意到，知，從而由(430)有可見求積公式(427)對一切次數(shù)不超過的多項式精確成立，因此為高斯點。證畢。定理表明在上關(guān)于權(quán)的正交多項式系中的次多項式的零點就是求積公式(427)的高斯點。因此，求Gauss點等價于求上關(guān)于權(quán)的次正交多項式的個實根。有了求積節(jié)點后，可如下確定求積系數(shù)其中。下面討論高斯求積公式的余項。設(shè)在節(jié)點上的次Hermite插值多項式為，即由Hermite余項公式有定理6 高斯求積公式的求積系數(shù)全是正的。證明 由于具有高斯節(jié)點的高斯求積公式具有次代數(shù)精度，所以對于多項式，公式準(zhǔn)確成立，即推論 高斯求積公式是穩(wěn)定的。定理7 設(shè)，高斯求積公式是收斂的，即6 數(shù)值微分在微積分學(xué)里，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般來講是容易辦到的，但若所給函數(shù)由表格給出，則就不那么容易了，這種對列表函數(shù)求導(dǎo)數(shù)通常稱為數(shù)值微分。 利用差商求導(dǎo)數(shù)最簡單的數(shù)值微分公式是用差商近似代替導(dǎo)數(shù)1）向前差商 (431)2）向后差商 (432)2）中心差商 (433)在幾何圖形上，這三種差商分別表示弦AB、AC和BC的斜率，將這三條弦同過A點的切線AT相比較，從圖1可以看出，一般地說，以BC的斜率更接近于切線AT的斜率，因此就精度而言，(3)式更為可取，稱 (434)為求的中點公式。 圖1 差商示意圖現(xiàn)在考察式(434)計算近似導(dǎo)數(shù)所產(chǎn)生的截斷誤差，首先分別將在處作Talor展開，有16
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