數(shù)值分析講義(東北大學(xué))第七章數(shù)值積分-資料下載頁
2025-09-26 00:01本頁面
【正文】 =1的 Gauss型求積公式為 用 3點(diǎn) Gauss公式計算積分 結(jié)果遠(yuǎn)比 Simpson公式的結(jié)果精確 . ? ?? ?????????ba tabbaxdttabbafabdxxf )2 )()(()22(2)( 1 1? ?? ?????ba ni ii xabbafAabdxxf 1 )22(2)(例 14 ? ?? 10 2 .1 4 dxxI 解 這里 Gauss點(diǎn)和積分系數(shù)與上例相同 ,所以 ????????? 31 210 2 1 4 1 0 6 ]2/)1[(142114i ii xAdxxI求積誤差可表示為 ),(,)()12(])!2[( )!()(][ )2(3412bafnn nabfR nn??????? 區(qū)間 [0,??)上權(quán)函數(shù) ?(x)=ex的 Gauss型求積公式 ,稱為 GaussLaguerre求積公式 ,其 Gauss點(diǎn)為 Laguerre多項(xiàng)式的零點(diǎn) . (2) GaussLaguerre求積公式 公式的 Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到 . n xk Ak n xk Ak 2 5 3 602899450829 6 4 GaussLaguerre求積公式為 求積公式的誤差為 由于 所以 ,對 [0, +?)上權(quán)函數(shù) ?(x)=1的積分 ,也可以構(gòu)造類似的 GaussLaguerre求積公式 : ? ?? ?? ?0 1 )()( ni iix xfAdxxfe),0(,)()!2( )!(][ )2(2???? ??nfnnfR?? ? ?? ? 00 )()( dxxfeedxxf xx? ????01)()( ni ixi xfeAdxxfi 區(qū)間 (?,??)上權(quán)函數(shù) ?(x)= (3) GaussHermite求積公式 公式的 Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到 . n xk Ak n xk Ak 2 177。 6 177。 177。 177。 3 177。 0 4 177。 177。 7 177。 177。 177。 0 5 177。 177。 0 2xe? 的 Gauss型求積公式 ,稱為 GaussHermite求積公式 , 其 Gauss點(diǎn)為 Hermite多項(xiàng)式的零點(diǎn) . GaussHermite求積公式為 ? ????? ?? ? ni iix xfAdxxfe 1 )()(2 ? ??? ?? ?? ni ixi xfeAdxxf i1 )()( 2或求積公式的誤差為 ),(,)()!2(2 !][ )2( ?????? ??? nn fnnfR167。 6 數(shù)值微分 167。 差商型數(shù)值微分 （ 1）向前差商數(shù)值微分公式 hxfhxfxf )()()( 000????由 Taylor展開式 10,)(2)()()( 02022 ?????????? ?? hxfhhxfxfhxf可得誤差 10)(2)()()( 0000 ??????????? ?? hxfhh xfhxfxf （ 2）向后差商數(shù)值微分公式 hhxfxfxf )()()( 000????由 Taylor展開式 10,)(2)()()( 02022 ?????????? ?? hxfhhxfxfhxf可得誤差 10)(2)()()( 0000 ?????????? ?? hxfhh hxfxfxf （ 3）中心差商數(shù)值微分公式 hhxfhxfxf2)()()( 000?????可得誤差 )]()([122 )()()( 20222022 hxfhxfhh hxfhxfxf ?? ???????????????10,)(6 02 ??????? ?? hxfh （ 4）二階中心差商數(shù)值微分公式 20000)()(2)()(hhxfxfhxfxf ???????其誤差為 O(h2). 設(shè) Ln(x)是 ?(x)以 a?x0x1…x n?b為節(jié)點(diǎn)的 n次 Lagrange插值多項(xiàng)式 , 則取 當(dāng) ?(x)?Cn+1+k[a,b]時 , 有 167。 插值型數(shù)值微分 ????? ni ikiknk nkxfxlxLxf0)()()( ,2,1,)()()()( ?????????? ??)()!1( )()()( 1)1()()( xnfdxdxLxfnxnkkknk ??特別 , 當(dāng) k=1時有 如果僅限定在節(jié)點(diǎn) xi處求導(dǎo) , 則有 如取 n=1的線性插值 L1(x)=[(xx0)?(x1)(xx1)?(x0)]/h, (其中 h=x1x0)可得數(shù)值微分的二點(diǎn)公式 : ?????? ?????? ???? )()()())(()!1(1)()(1)1(1)1( xdxdfxfdxdnxLxf nxnnxnn ??????????????? nijjjinini nixxnfxLxf0)1(,2,1,0,)()!1( )()()( ??)(2))()((1)( 010 ?fhxfxfhxf ??????????????????? )(2))()((1)( 011 ?fhxfxfhxf如取 n=2的等距節(jié)點(diǎn) (x2x1=x1x0=h)拋物線插值 : 則有 L2(x)= [(xx1)(xx2)?(x0)2(xx0)(xx2)?(x1)+(xx0)(xx1)?(x2)]/2h2 可得數(shù)值微分的三點(diǎn)公式 : )(3)](3)(4)([2 1)( 22102 ?fhxfxfxfhxf ????????)(3)]()(4)(3[2 1)( 22100 ?fhxfxfxfhxf ?????????)(6)]()([2 1)( 2201 ?fhxfxfhxf ???????? L2?(x)=[(2xx1x2)?(x0)2(2xx0x2)?(x1)+(2xx0x1)?(x2)]/2h2 L2??(x)=[2?(x0)4?(x1)+2?(x2)]/2h2 )](6)([)]()(2)([1)( 2)4(2121020 ?? fhfhxfxfxfhxf ???????????)(12)]()(2)([1)( )4(221021 ?fhxfxfxfhxf ??????????????????????????????? )](6)([)]()(2)([1)(2)4(2121022?? fhfhxfxfxfhxf?(x0)2?(x1)+?(x2)]/h2 練習(xí)題 第 213頁 習(xí)題 7 71, 72, 73, 75, 練習(xí)題 第 213頁 習(xí)題 7 77, 710, 711, 712, 課間休息 更多資料請訪問：
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