[理學(xué)]56第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分-資料下載頁(yè)
2024-12-08 00:43本頁(yè)面
【正文】 fRC ?? ???? ????4( 4 )1()18 0 2hba f ?? ??? ????4( 4 )2/2 ()18 0 2ba fh ?? ??? ????CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY R o mbe r g 公式計(jì)算過(guò)程?. 1T2T4T8T16T1S2S4S8S1C2C4C1R2R2kT 12kS ? 22kC ? 32kR ?... ... ... ...CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 167。 4 Gauss公式 一、問(wèn)題提出 問(wèn) (1)最高 可達(dá)多少？ (2)如何構(gòu)造 這樣的公式？ ()baI f x d x? ? ( ) ( )1 nkkkA f x????代數(shù)精度 至少為 n1, 插值型求積公式 二、基本概念和結(jié)論 只要適當(dāng)選擇求積節(jié)點(diǎn)， (*)精度最高可達(dá) 2n1. 節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) 具有最高精度的求積公式稱為 高斯公式 ， 此時(shí)求積節(jié)點(diǎn) xk稱為 高斯點(diǎn) 。 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 設(shè) 稱 f(x)與 g(x)正交 。 ( ) , ( ) [ , ] , ( ) ( ) 0 ,baf x g x C a b f x g x d x?? ?若 定理： 對(duì)插值型求積公式 (*),節(jié)點(diǎn) xk(k=1,2,…, n)為高斯點(diǎn) 1( ) ( ) 0, ( ) ( ) , ( )1nbkakp x x dx x x x p xn???????? ?? 其中 指一切次 的多項(xiàng)式。 由此得構(gòu)造高斯公式的方法： 尋找 [a,b]上與次數(shù) ≤n1的多項(xiàng)式正交的 n次多項(xiàng)式， 且恰有 n個(gè)互不相同的零點(diǎn)就是高斯點(diǎn)。 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 三、高斯 勒讓德求積公式 1 11 () (??? ??求 )高斯公式nkkkA f xf x d x勒讓德多項(xiàng)式 (1)三項(xiàng)遞推式 0111( ) 1 , ( ) ,1( ) [ ( 2 1 ) ( ) ( ) ]1n n nP x P x xP x n xP x n P xn????? ? ??(2)性質(zhì) 110,( ) ( ) 2,21 mnmnP x P x dxmnn????? ??????① CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY ② Pn(x)在 [1,1]上與任意次數(shù) ≤n1的多項(xiàng)式正交。 ③ Pn(x)在 [1,1]上有 n個(gè)互異零點(diǎn)。 幾個(gè)常用的高斯公式 (1)一點(diǎn)高斯 — 勒讓德公式： (2)兩點(diǎn)高斯 — 勒讓德公式： 11 ( ) 2 ( 0 )f x d x f? ??11( ) ( ) ( )1133f x d x f f?? ? ??? ?112 , 0Ax??1 2 1 111,331A A x x??? ? ? ? ?????CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 四、一般積分區(qū)間上的 高斯求積公式 () ?? ba f x d x22b a b axt????(1)一點(diǎn)高斯公式： (2)兩點(diǎn)高斯公式： ( ) ( ) ( )2ba baf x d x b a f ????( ) [ ( ) ( ) ]2 2 22 3 2 3bab a b a b a b a b af x d x f f? ? ?? ? ? ? ??11 ()2 2 2?? ? ???b a b a b af t d tCHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：用兩點(diǎn)高斯公式求 的近似值。 1251( 2 ) 1 dxx? ???3211225111 3( 2 ) 1 9 1xtd x d txt????????? ? ???解： 221 1 2 33 [ ] 311 429( ) 1 9( ) 133? ? ? ? ???CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例 2 用 G a u s s L e g e n d re 公式 求積分 11 s in ( )xI d xx?? ? 解：（ 1 ）用三點(diǎn) G au s s 公式，計(jì)算結(jié)果為 g3= 9 21 749 978 44 。將它除 2 得積分 10si n ( )0 .9 4 6 0 8 7 4 9 8 9 2 2xI d xx??? （ 2 ）用 6 點(diǎn) G au s s 公式 161( ) 0 .4 6 7 9 1 3 9 ( 0 .2 3 8 6 1 9 2 ) 0 .3 6 0 7 6 1 6 ( 0 .6 6 1 2 094)0 .1 7 1 3 2 4 5 ( 0 .9 3 2 4 6 9 5 ) 0 .1 7 1 3 2 4 5 ( 0 .9 3 2 4 6 9 5 )0 .3 6 0 7 6 1 6 ( 0 .6 6 1 2 0 9 4 ) 0 .4 6 7 9 1 3 9 ( 0 .2 3 8 6 1 9 2 )f x d x G f fffff?? ? ?????? 積分結(jié)果為 g6= 92 166 133 72 7 ，將它除 2 得積分： 10si n ( )0 .9 4 6 0 8 3 0 6 6 8 6 3xI d xx??? 這個(gè)數(shù)值只用了 6 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)，達(dá)到 8 位有效數(shù)字；如用復(fù)化公式計(jì)算將要二分很多次，即使用 R om b e r g 方法也要二分 4 次，需要用 17 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY xh x x+h B C A T f(x) 167。 5 數(shù) 值 微 分 一、用差商近似代替導(dǎo)數(shù) CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 向前差商： ( ) ( )() f x h f xfx h?? ?２、向后差商： ( ) ( )() f x f x hfxh?? ?３、中心差商： ( ) ( )()2f x h f x hfxh??? ?截?cái)嗾`差 ()2h f ????()2h f ???()6h f ?????( ) ( ) ( ) ( )22hf x h f x f x h f ?? ??? ? ? ?CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 二、插值型求導(dǎo)公式 01 na x x x b? ? ? ? ?( ) , 0, 1 , ,kkf x y k n??( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nf x P x f x P x f x P x? ? ?? ??? ? ?則可構(gòu)造插值多項(xiàng)式 P(x)使得 設(shè)函數(shù) f (x)不一定給出 ,但知道 f (x)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 課后作業(yè) : 習(xí)題六 (P157)： 2, 3(1)(4)， 4， 5， 6(1)(2)， 8(1)
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