第六章微分方程模型-資料下載頁
2025-08-01 13:24本頁面
【正文】 2 ,xae d x a????????224 ,4xyQekt a?????以 代入上式 , 有 2 2 2 .x y r??⒁ ? ? 4 l n .4aQr t k tkt???⒂ 結(jié)果分析 由⒂式可大致畫出函數(shù) 的曲線 , 并且能算出當 ? ?rt1 4aQttke????時不透光的區(qū)域的半徑達到 最大 當 .mrt? ?rt1tmrO 2t2 4aQttk ????⒃ ⒄ 時 , 即此時煙霧完全消散 . ? ⒃ , ⒄ 式表明 與煙霧施放量 和煙霧對光線的吸 收系數(shù) 成正比 , 與擴散系數(shù) 和系統(tǒng)靈敏度 成反比 . 12,tt Qa k ? 再從最后兩式可以得到 2 1 12 . 7 .t t e t? ? ? ?此說明當知道 后 , 可預測煙霧完全消失的時刻 1t 四、萬有引力的發(fā)現(xiàn) 歷史背景 15世紀下半葉開始 , 歐洲商品經(jīng)濟的繁榮促進了航海 事業(yè)的發(fā)展 . 哥倫布新大陸的發(fā)現(xiàn) , 麥哲倫的環(huán)球遠航 , 引起了社會的普遍關(guān)注 . 當時的遠洋航船的方位全考星 球的位置來確定 . 在強大的社會需要推動下 , 天文觀測 的精確程度不斷提高 . 在大量的實際觀測數(shù)據(jù)面前 , 一 直處于天文學統(tǒng)治地位的“地心說”開始搖動了 . 波蘭天文學家哥白尼在天文觀測的基礎(chǔ)上 , 沖破宗教 統(tǒng)治和“地心說”的束縛 , 提出“日心說” . 這是天文學乃 整個科學的一大革命 . 但是由于歷史條件和科學水平的 限制 , 哥白尼的理論還有些缺陷 . 他接受了圓周運動是 最完美的天體運動形式的概念 , 認為行星繞太陽的運行 軌道是圓形的 . 意大利物理學家伽利略不僅用觀察方法證明了哥白尼 的學說 , 而且用實驗方法發(fā)現(xiàn)了落體定律和慣性原理 , 揭示了物體在不受阻擾時作勻速直線運動的規(guī)律 . 德國天文學家、數(shù)學家開普勒在第谷 .布拉赫對于行 星運動大量觀測資料的基礎(chǔ)上用數(shù)學方法研究發(fā)現(xiàn) , 火 星的實際位置與按哥白尼理論計算的位置相差 8弧分 . 經(jīng)過對觀測數(shù)據(jù)長期深入的分析 , 開普勒終于歸納出著 名的所謂行星運動三大定律 : 即 各顆行星分別在不同的橢圓軌道上繞太陽運行 , 太陽 位于這些橢圓的一個焦點上 。 每顆行星運行過程中單位時間內(nèi)太陽 — 行星向徑掃過 的面積是一個常數(shù) 。 各顆行星運行的周期的平方與其軌道長半軸的 3次方 成正比 . 在伽利略、開普勒的基礎(chǔ)上 , 17, 18世紀許多科學家致 力于行星沿橢圓軌道運行時受力狀況的研究 . 從開普勒 定律中可以看出 , 行星運行速度是變化的 . 而在當時沒 有計算變速運動的動力學方法 . 英國物理學家胡克和荷 蘭物理學家惠更斯等人雖然都取得了一些成果 , 但終未 得到有關(guān)引力的定律 . 英國物理學家、數(shù)學家牛頓認為一切運動都有其力學 原因 . 開普勒三定律的背后必定有力學定律起作用 . 他 在研究變速運動中發(fā)明了微積分（流數(shù)法） , 又以微積 分為工具在開普勒三定律和牛頓第二定律的基礎(chǔ)上用演 繹的得到所謂的萬有引力定律 . 模型假設(shè) 開普勒三定律和牛頓第二定律為真 。 對任意一顆行星的橢圓運行軌道建立極坐標 并 以太陽為坐標原點 , 以橢圓長半軸方向為極軸正向 . ? ?,.r ?rO?r p .1 c o spr e ?? ?? ?2 2 2 2, 1 .bp b a ea? ? ?⑴ 其中 為橢圓的長、短半軸 , 為離心率 . ,ab e 掃過的面積是常數(shù) 即 r .A21 .2 rA? ? 滿足 T23 .Ta??其中 是絕對常數(shù) , 與行星無關(guān) . ? 等于行星加速度 和 f r??⑵ ⑶ 質(zhì)量 的乘積 . 即 m⑷ .f m r??? 模型建立 萬有引力定律研究的是力 的大小和方向 . 由⑷知 , 它 取決于行星的運動加速度 由此必須研究行星的位置 和速度 為此先引入基向量 f.r?? r.r?c o s s in ,s in c o s .ru i ju i j????????? ? ? ??rO?r pruu? 向徑 可表示為 r.rr ru?⑸ ⑹ 000, .t Kdy y c y ydt L??? ?? ? ?作變換： 則原方程變形為 1 ,zy ???? ? ? ?1 1 .z z c? ? ? ?? ? ? ? ?此方程為一階線性微分方程，代入求解公式得 ? ? ? ? ? ?1 1 111 .t t tccz e e C C e? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ?????代入 則方程的通解為 1 ,zy ???? ?111 .tcy C e ??? ????? ??再由初始條件，得 110011 ,KK ccCCLL????????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?111001 1 .tKcy t eK???? ?????????????? ? ???????????
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