【正文】 的正交多項(xiàng)式 ,且滿足 : (1)(Tm,Tn)= ?? ?11 211)()( dxxxTxT nm?? ? ???0 c o sc o s dnm???????????0200),(nmnmnmTT nm?? (2)有三項(xiàng)遞推關(guān)系 Tn+1(x)=2xTn(x)Tn1(x) n=1,2,3,… T0(x)=1, T1(x)=x ????? (3)Tn(x)在 [1,1]上的 n個(gè)零點(diǎn)為 nknkx nk ,. .. ,2,1,2 12c o s)( ??? ? ?,2,1,0,0),()( ?????? ? nxexdxdexL xnnnxn是區(qū)間 [0,+?)上權(quán)函數(shù) ?(x)=ex 的正交多項(xiàng)式 ,且滿足 : (1)(Lm,Ln)= ? ?? ?0 )()( dxxLxLe nmx ??????nmnnm2)!(0 Ln+1(x)=(2n+1x)Ln(x)n2Ln1(x), n?1 L0(x)=1, L1(x)=1x ???)2( ?,2,1,0,),()1()( 22 ????????? ? nxedxdexH xnnxnn是區(qū)間 (?,+?)上權(quán)函數(shù) ?(x)= 2xe? 的正交多項(xiàng)式 ,且滿足 : (1)(Hm,Hn)= ? ???? ? dxxHxHe nmx )()(2??????nmnnmn ?!20 Hn+1(x)=2xHn(x)2nHn1(x), n?1 H0(x)=1, H1(x)=2x ???)2(167。 7 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法 167。 數(shù)據(jù)擬合問題 經(jīng)常由觀察或測(cè)試可得到 y(x)的一組離散數(shù)據(jù) : xi x0 x1 x2 … xm yi y0 y1 y2 … ym 需要在給定的函數(shù)類 ?上根據(jù)這組離散數(shù)據(jù)作出逼近曲線 .要求逼近曲線在 xi處與離散數(shù)據(jù)盡可能接近 . 對(duì)函數(shù)?(x)??,要求以 ?(x)在離散點(diǎn)的誤差 ?0=?(x0)y0,?1=?(x1)y1,… ,?m=?(xm)ym 為分量的誤差向量 ?=(?0 ,?1,… ,?m)T,按某一向量范數(shù) ?????達(dá)到最小 .對(duì)不同的范數(shù) ,構(gòu)造出不同意義下的擬合函數(shù) . 函數(shù)類 ?通常取為 :?=Span??0(x),?1(x),… ,?n(x)?,其中函數(shù)系 ?0(x),?1(x),… ,?n(x)在包含節(jié)點(diǎn) ?xi?的區(qū)間[a,b]上線性無關(guān) . ?(x)=a0?0(x)+a1?1(x)+… +an?n(x) ?中任一函數(shù) ?(x)可以表示為 常用的函數(shù)系有冪函數(shù)系 ?xj? ,三角函數(shù)系 ?sinjx? , ?cosjx?,指數(shù)函數(shù)系 ? ?,xje? 正交函數(shù)系等 .最常用的是冪函數(shù)系 ?xj?,即取 ?=Pn=Span?1,x,x2,… ,xn?,這時(shí)求得的擬合曲線稱為 多項(xiàng)式擬合曲線 . 167。 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法 為了便于計(jì)算 ,在求誤差向量 ?的范數(shù)時(shí) ,宜采用向量的 2范數(shù) ,這時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線擬合方法稱為 最小二乘法 . 就是在函數(shù)類 ?=Span??0(x),?1(x),… ,?n(x)?中找一個(gè)函數(shù) y=?*(x),使誤差向量 ?*的 2范數(shù)達(dá)到最小值 ,即 ??? ??????? mi xiimi iyx022)(2*02*22* m in])([ δδ??? 在實(shí)際問題中 ,考慮到數(shù)據(jù)的比重不同 ,常采用誤差向量 ?的加權(quán)范數(shù)形式 ???? mi iiiyxx0222 ])()[( ??δ其中 ?(x)?0,是在 [a,b]上的權(quán)函數(shù) . 由于 ???? mi iiiyxx0222 ])()[( ??δ? ?? ??? minjiijji yxax0 02])()[( ?? G(a0,a1,… ,an) 尋求擬合曲線問題就轉(zhuǎn)換為求多元函數(shù) G(a0,a1,… ,an)的最小值問題 . 令 nkxyxaxaGikminj iijjik,. ..,1,0,0)(])()[(20 0?????? ? ?? ????得到關(guān)于 a0,a1,… ,an的線性方程組 : nkxyxaxxx ikmi iijikijmi inj,. .. ,1,0,)()()]()()([000?? ???????????引進(jìn)向量 ?j=(?j(x0),?j(x1),… ,?j(xm))T , j=0,1,2,… ,n ?=(y0,y1,… ,ym)T 且記向量?jī)?nèi)積 ),()()()(0 ikijmi ixxx ????? ???kj , )()()(0 ikmi iikxyx ??? ???f,于是有 nkanjj ,...,1,0)()(0????kkj f, ???其矩陣形式為 ??????????????)()()()()()()()()(1111110nnnnnn??????????????????,,,00000?????????????????????naaa?10???????????????)()()(1n???f,f,f, 0?稱為 (由最小二乘法導(dǎo)出的 )正則方程組 或 法方程組 . 如果向量組 ?0,?1,… ,?n線性無關(guān) ,則 正則方程組的系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定矩陣 ,可由平方根法或 SOR法求得唯一解a0*,a1*,… ,an*,于是得到擬合函數(shù) : ?*(x)=pn*(x)=a0*?0(x)+a1*?1(x)+… +an*?n(x) 若取函數(shù)類 ?=Pn=Span?1,x,x2,… ,xn?,正則方程組為 ?????????????????????????niiniiniiniiiiiiniiiiixxxxxxxx2112??????????????????????????????naaa?10??????????????????iniiiiiiiyxyxy????其中 ?i=?(xi), ? ??? mi 0 .此時(shí)擬合曲線為 ?*(x)=pn*(x)=a0*+a1*x+… +an*xn 若取 ?0(x),?1(x),… ,?n(x)為正交函數(shù)系 ,即 (?i,?j) =0,(i?j),則正則方程組的系數(shù)矩陣為對(duì)角矩陣 ,易得 ak*=(?,?k)/(?k,?k) ,k=0,1,2,… ,n x y o 4 3 1 4 例 9 給出如下離散數(shù)據(jù) xi 3 2 1 0 1 2 3 4 yi 4 試求 y(x)的擬合曲線 . 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 解 繪草圖 故求線性擬合曲線 , ?0(x)=1, ?1(x)= ?(x)=1,記 ?0=(1,1,1,1,1,1,1,1)T, ?1=(3,2,1,0,1,2,3,4)T, ?=(,,4) ??? 8a0+4a1= 4a0+44a1=46 解得 ??????0 4 8 8 0 3 6 9 *1*0aa所求擬合曲線為 y= 此時(shí) ,擬合曲線的均方誤差為 ||?*??2? 例 10 對(duì)下列數(shù)據(jù)求形如 y=aebx的擬合曲線 xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 解 設(shè) z=lny ,則 z=A+bx, 其中 A=lna, 由 zi=lnyi 得 zi 對(duì) z(x)作線性擬合曲線 ,取 ?0(x)=1,?1(x)= ?(x)=1,則 ?0=(1,1,1,1,1,1,1,1)T , ?1=(1,2,3,4,5,6,7,8)T , z=(,, ,)T,得正則方程組 ??? 8A+36b= 36A+204b= 解得 A*=, b*=, 于是有 a*=eA*=,擬合曲線為 : ??(x)= 例 11 用最小二乘法求方程組 ??????? 3x2y=1 2x+y=2 x4y=1 3x+2y=3 的近似解 . 解 記 G(x,y)=(3x2y1)2+(2x+y2)2+(x4y+1)2+(3x+2y+3)2 令 0?????? yGxG則有 6(3x2y1)+4(2x+y2)+2(x4y+1)+6(3x+2y+3)=0 4(3x2y1)+2(2x+y2)8(x4y+1)+4(3x+2y+3)=0 ???即 23x2y=3 2x+25y=2 ???解得 : x=, y= 練習(xí)題 第 180頁 習(xí)題 6 61, 62, 63, 64, 65 練習(xí)題 第 180頁 習(xí)題 6 68, 69, 610, 612, 613, 練習(xí)題 第 180頁 習(xí)題 6 615, 619, 620, 622 課間休息 更多資料請(qǐng)?jiān)L問：