數(shù)值分析--第2章插值法-資料下載頁
2025-08-23 01:58本頁面
【正文】 的工具。后來發(fā)展了許多樣條，如B樣條，圓弧樣條，三角樣條等，內(nèi)容十分豐富，應(yīng)用非常廣泛。本節(jié)我們僅就最常用的三次多項(xiàng)式樣條的概念和穩(wěn)定的計(jì)算，以及有關(guān)的一些性質(zhì)，作簡(jiǎn)單的介紹。 已知函數(shù)在區(qū)間上的個(gè)節(jié)點(diǎn)上的值，求插值函數(shù)，使得（1）；（2）在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式；（3）在上二階連續(xù)可微。函數(shù)稱為的三次樣條插值函數(shù)。從定義知要求出，在每個(gè)區(qū)間上要確定4個(gè)待定系數(shù)，共有個(gè)小區(qū)間，故應(yīng)確定個(gè)參數(shù)。根據(jù)函數(shù)一階及二階導(dǎo)數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)連續(xù)，應(yīng)滿足條件 (246)及插值條件。共有個(gè)條件，因此還需要2個(gè)邊界條件作補(bǔ)充才能確定。常見的邊界條件是：1）已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即 (247)2）兩端的二階導(dǎo)數(shù)已知，即 (248)3）當(dāng)是以為周期的周期函數(shù)時(shí)，則要求也是周期函數(shù)，這時(shí)邊界條件應(yīng)滿足 (249)這樣確定的樣條函數(shù)稱為周期樣條函數(shù)。設(shè)在節(jié)點(diǎn)處的一階、二階導(dǎo)數(shù)值分別為，即的表達(dá)式通常分兩種形式：(1) 用做參數(shù)的表達(dá)式。這就需要先求，然后才能得到的確定的表達(dá)式。在力學(xué)上表示細(xì)梁在處的彎矩。(2) 用做參數(shù)的表達(dá)式。這就需要先求，然后才能得到的確定的表達(dá)式。在力學(xué)上表示細(xì)梁在處的轉(zhuǎn)角。以節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為參數(shù)的三次樣條插值。設(shè)。因?yàn)樵诿總€(gè)區(qū)間上是分段三次多項(xiàng)式，故在上是線性函數(shù)，可表示為其中。對(duì)積分兩次并利用及，可定出積分常數(shù)，于是得三次樣條表達(dá)式 (250)這里是未知參數(shù)。為了確定它們，對(duì)求導(dǎo)得因此 (251)用下標(biāo)取代得到在區(qū)間上的表達(dá)式，從而得 (252)利用可得 (253)其中，方程組含有個(gè)未知量，但卻只有個(gè)方程，因此需要邊界條件補(bǔ)充另外的兩個(gè)方程。對(duì)第一型邊界條件(247)，式(251)和(252)中的分別取1和，可導(dǎo)出兩個(gè)方程 (254)如果令，那么將式(253)與(254)聯(lián)立可得關(guān)于參數(shù)的階線性方程組，其矩陣形式為 (255)其中。對(duì)第二型邊界條件(248)，直接得端點(diǎn)方程 (256)如果令，則(254)和(256)也可以寫成式(255)的形式。對(duì)第三型邊界條件(249)，式(251)和(252)中的分別取1和，可得從而 (257)其中。將方程(257)與(255)聯(lián)立，得到階方程組顯然，這三種情形所得到的方程組的系數(shù)矩陣均為三對(duì)角方程，且是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)的。因?yàn)椤?例7 已知函數(shù)表0123282930求滿足邊界條件的三次樣條插值函數(shù)。解 我們采用三彎矩方程求解。由邊界條件，所適用的方程組為 (258)其中。計(jì)算的結(jié)果見下表011213將以上數(shù)據(jù)代入方程組(258)，解得將此解代入以彎矩為參數(shù)的樣條分段表達(dá)式，得例8 求滿足下面函數(shù)表所給出的插值條件的自然樣條函數(shù)，并算出的近似值：012312451342解 我們采用三彎矩方程求解。由邊界條件，所適用的方程組為 (259)其中。造差商表如下：0111232244352代入方程組(259)，解得。所以經(jīng)計(jì)算得 誤差界與收斂性三次樣條函數(shù)的收斂性與誤差估計(jì)比較復(fù)雜，這里不加證明的給出一個(gè)主要結(jié)果. 設(shè)為滿足第一種或第二種邊界條件(247)或(248)的三次樣條函數(shù),令，則有估計(jì)式 (260)其中。這個(gè)定理不但給出三次樣條插值函數(shù)的誤差估計(jì)，且當(dāng)時(shí)，及其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均分別一致收斂于及。7 反插值反插值方法可用于求函數(shù)的近似反函數(shù)。當(dāng)然，它也是求解非線性方程的基本方法之一。前面我們都是研究定義在直線上的函數(shù)的插值問題，實(shí)踐中，常常遇到分布在曲線上的物理量的計(jì)算問題，因此研究定義在曲線上的函數(shù)插值問題是非常重要的課題。 反插值設(shè)已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，列表如下現(xiàn)設(shè)在區(qū)間上滿足反函數(shù)定理中的條件，即特別是，因此有，其中為的反函數(shù)。讓作為自變量，為節(jié)點(diǎn)，為這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，于是用Lagrange插值公式可作出逼近的函數(shù)。下例給出反插值在求解非線性方程中的應(yīng)用。例9 已知函數(shù)表如下：求在與之間的根。解 按距由近及遠(yuǎn)的順序排列節(jié)點(diǎn)，并作如下均差表01234于是函數(shù)在與之間的零點(diǎn)為。注3：．當(dāng)采用低階插值函數(shù)時(shí)，按距由近及遠(yuǎn)的順序排列節(jié)點(diǎn)，可使插值誤差極小化。若選擇所有的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值，由插值多項(xiàng)式的唯一性，與節(jié)點(diǎn)的排列順序無關(guān)。27
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