【正文】 1 x0 x2 x3 Xn1 Xn ()( ) .kkkh y f x xy f x??其中， 稱為步長，函數 在 的函數值為差分的概念（向前差分） 121 2 1 111112( ) ( )1,k k kk k k k k k km m mk k kk k ky y yy y y y y y ymmy y yx x x?? ? ? ??????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??：：；一般地， 階差分用 階一階差分二階差差分來定義：以上定義的是 ：從 起向前的函數值的差， 稱為分前差向前差分算子 。差分的概念（向后差分） 121 1 1 2111( ) ( )k k kk k k k k k km m mk k ky y yy y y y y y ym y y ym?? ? ? ?????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?表示一階向后差分：二階向后差分： ，階向后差分：分別稱為一階，二階， ， 階向向后差分算子后差分。差分的性質（性質 1） 121211101212 1 111( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )1 2 ( ) ( )nk k n n k n n k ni i n n n nn k n i n k n kniin k n iik k kk k kk k k knny y C y C yC y C y C yCyn y y yn y y yy y y y? ? ? ? ???? ? ??????? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??性質 ： 階差分是 個函數值的線性組合。驗證： 時， ；時，21( 2 )k k ky y y????差分的性質（性質 1續(xù)） 3 2 213 2 1 2 13 2 131 2 33( 2 ) ( 2 )3 3 。33k k kk k k k k kk k k kk k k k kn y y yy y y y y yy y y yy y y y y?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?時，一般地，可用數學歸納法證明此公式。對于后差也有類似的公式，例如：差分的性質（性質 2） 11 2 21112 1 112221 221[ , , , ]!, 2 , 2 ,1[ , ][ , ] [ , ][ , , ]1 1 1 122mk k k m kmk k k k k kkkk k kkkk k k kk k kkkk k kf x x x ymhx x h x x h x x hyyf x x yx x hf x x f x xf x x xxxy y yh h h h??? ? ????? ? ???????? ? ? ? ? ??? ? ???????? ? ? ? ? ?????性質 ：在等距插值的情況下，差分和均差有如下關系：驗證：因為所以,差分的性質（性質 2續(xù)） 1 2 33 2 1 2 132 2 312 2 3[ , , , ][ , , ] [ , , ]1 1 1 13 2 2 6k k k kk k k k k kkkk k kf x x x xf x x x f x x xxxy y yh h h h? ? ?? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ?????等距節(jié)點的牛頓插值公式 000( ) , 0 , 1 , ,[ , ] 0 .k kknx x k h y f x k nx x x x x th t n?? ??? ? ? ? ?設等距節(jié)點 ，記當 ，令 ， 如下圖：x1 x0 x2 x3 X 2 3 0, x x x x h??在 的中點時，牛頓插值公式（向前插值公式） 0020 0 0300( ) ( ) ( ) ,1( ) ( 1 )211( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 1 )3! !knnx x x t h x k h t k hN x y t y t t yt t t y t t t n yn? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?將牛頓插值公式中的均差用差分（性質2的公式）代替，而從而，牛頓插值公式在等距插值節(jié)點下的形式為：！牛頓插值公式 1( ) ( 1 ) ( )1 ( 1 )( ) ( ) ( )( 1 ) !1 ( 1 )( 1 ) !nh t t t nnR x f xnnnnfn????????????等距牛頓向前 公式這是 插值余項為牛頓插值公式（向后插值公式） 23( 1 ) 1 ( 0)()1( ) ( 1 )2!11( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 1 )31( ) ( ) ( 1 ) ( )( 1 ) !n n k nnkn n n nnnnnnnx x t h n t x x k hx x t k hN x y t y t t yt t t y t t t n ynR x f h t t t nn?????? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??令 ，這時 ，；??！余項為：例子 4 ( ) 1 , 1 . 5 , 2 , 2 . 5 , 3( 2 . 2 ) .xy f x e xf? ? ?例 ：設 插值節(jié)點為相應的函數值如下表，求xi yi Δ yi Δ 2yi Δ 3yi Δ 4yi 1 2 3 例子（解） 122 0 0 03232( ) 011[ , ] , 1 , 1( ) ( 1 ) 322!( ) ( )1 1 2 10 236( ) ( ) 21 3( 1 ) ( 2 )03!kkfex x x h tN y t y t t yNNNNt t t y???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?解：精確值此時 故于是：求 時，在 后加一項：（ ）（ ）所以 3 55?例子（解） 4340432 3 4( ) ( )1( 1 ) ( 2) ( 3 )41 ( 1 ) ( 2) ( 3 ) 14624( ) ( ) 618 237 269 , 354 , 264NNt t t t yNNR R R? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?求 時，在 后再加一項：！所