數(shù)值計算方法及算法-資料下載頁
2025-05-14 07:52本頁面
【正文】 jjiijii????????復(fù)矩陣的奇異值分解 A = UΣV ? 一般方法 AH A = VHΣ2 V 或 A AH = UΣ2 UH ? QR 迭代 ? Jacobi 方法 計算 2 階方陣的 SVD TkkkkkkkTkkkk RQAQARQRRQA ~~~~, 11 ????? ??第 8章 常微分方程數(shù)值解 問題：求解一階常微分方程的初值問題： 解法：化微分方程為積分方程 bxayayyxfxy ????????0)(),()(? ???? 1 ))(,()()( 1 nnxxnn dttytfxyxyEuler折線法 ? 向前 Euler公式 ? 向后 Euler公式 Picard迭代 ? 中心 Euler公式 ? 梯形公式 改進(jìn)的 Euler公式 ),(1 nnnn yxfhyy ????),( 111 ??? ??? nnnn yxfhyy),(211 nnnn yxfhyy ??? ??? ?),(),( 11211 ??? ???? nnnnnn yxfyxfhyy),( )1( 11)( 1 ???? ??? knnnkn yxfhyy? ???????????????),(),(),(112111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxfhyyRungeKutta方法 選取 {xi, cij} 使 yr 有最高精度 p，即 riyxfcxxyyijjjijii ,1),()(1000 ????? ???，r 1, 2, 3, 4 5, 6, 7 8, 9 10, 11, ... p p = r p = r1 p = r2 p ≤ r2 )()( 1??? prr hOyxyRungeKutta方法的誤差估計 設(shè) 滿足 Lipschitz條件 設(shè) 滿足 ? 初值誤差 ? 截斷誤差 ? 整體誤差 )()(~ 111 ??? ?? pnn hOyxypLabphLhLnphLnnnnnnnnhLMehMeehMeyxyyxyxyxyyxy)(1)1(111111111)()(~)(~)()(????????????????????????yyLyxfyxf ~)~,(),( ???1)(~)~,()(~?????????nnnnxxxyxy yxfxy )(~ xy),( yxfLxxn nexxxyxyx ||)()()(~)()( ????? ???線性多步法 (*) 其中 φ(t) 為 f(t,y(t)) 的 q 次插值多項式。 ? 當(dāng) xn,…,xnq 為插值節(jié)點時， (*) 稱為顯式Adams公式。 ? 當(dāng) xn+1,…,xn+1q 為插值節(jié)點時， (*) 稱為隱式 Adams公式。 ? ???? ?? 1 )()(1 n pnxxpnn dttxyy ?一階常微分方程組的初值問題： 解法：同一階常微分方程的初值問題。 ),()( ),()(1 myyYbxaaYYxFxY??????? ??給定 高階常微分方程的初值問題 解法：令 化方程為 bxaayayayyyyxfxymmm ????????????)(,),(),( ),()()1()1()(??給定 ? ?? ?),(,,12)1(mmmyyxfyyFyyyY?????? ?bxaaYYxFxY ????? ??)( ),()(給定單步法 (*) ? 收斂性 ? 穩(wěn)定性 將 (*)應(yīng)用于方程 y’=y，得 yn+1=E(h)yn。 當(dāng) |E(h)|1時，稱 (*)絕對穩(wěn)定的。 稱 {復(fù)數(shù) h : |E(h)|1}為絕對穩(wěn)定區(qū)域。稱 {實數(shù) h : |E(h)|1}為絕對穩(wěn)定區(qū)間。 ),(1 hyxgyy nnnn ???nxyy nnh ??? ),(l i m 0復(fù) 習(xí) 第 0章 緒論 ? 誤差的定義 ? 向量的范數(shù) ? 矩陣的范數(shù)、條件數(shù)、譜半徑 第 1章 插值 ? Lagrange插值 ? 差商、 Newton插值 ? Hermite插值 ? 插值公式的截斷誤差 ? Runge現(xiàn)象 ? 樣條函數(shù) 第 2章 數(shù)值微分和數(shù)值積分 ? 差商型數(shù)值微分、插值型數(shù)值微分、微分公式的截斷誤差 ? 插值型數(shù)值積分、復(fù)化數(shù)值積分、積分公式的截斷誤差、代數(shù)精度 ? 外推法、 Romberg積分、 Gauss Legendre積分 ? 矩形域上的二重積分 第 3章 最小二乘擬合 ? 參數(shù)擬合問題 ? 矛盾線性方程組的最小二乘解 m i n)( 1 ???? ? bAXbAAAX TT第 4章 非線性方程求根 ? 對分法 ? 迭代法 ? Newton法 ? 弦截法 ? 收斂條件、收斂階數(shù)、計算復(fù)雜度 ? Newton法解非線性方程組 )()(1kkkk xfxfxx????)()()()(111??? ????kkkkkkk xfxfxfxxxx)(1 kk xx ???? ? )(11 kkk FF xxx ?? ???第 5章 直接法解線性方程組 ? 消元法 Gauss消元、列主元消元、全主元消元、追趕法 ? 分解法 LU分解、 PLU分解、 PLUQ分解、 Dolittle分解、Courant分解、 LDLT分解、 QR分解 ? 計算復(fù)雜度 第 6章 迭代法解線性方程組 ? 迭代格式 ? 迭代矩陣 ? 收斂條件 ? Jacobi迭代 ? GaussSeidel迭代 ? 松弛迭代 DLADLADAAAIAAIYAXAAIYAXAXXYAXAAIYAXkkkkkk111111111~~~1)~()~(~)~()(~))(~()(???????????????????????????????第 7章 矩陣的特征值和特征向量 ? 利用冪法計算模最大特征值及其特征向量 ? 利用反冪法計算模最小特征值及其特征向量 ? 利用 QR方法計算所有特征值 ? 利用 Jacobi方法計算實對稱陣的所有特征值及其特征向量 ? 冪法 ? 反冪法 ? QR方法 ? Jacobi方法 kkkkTkkTkk AAA???????? ???? 11 ，kkkkTkkTkk AAA ????????11111 ????? ?? ，11 ??? kkk RQAQ??????????????????? ?????????????????? 00c oss i ns i nc osc oss i ns i nc os????????qqpqpqppaaaa第 8章 常微分方程數(shù)值解 常微分方程初值問題 化為積分方程 ? 利用 Euler公式求解 ? 利用 RungeKutta公式求解 ? 利用 Adams公式求解 ???????0)(),()(39。yaybxayxfxy ，? ???? 1 ))(,()()( 1 nnxxnn dttytfxyxy? 向前 Euler公式 ? 向后 Euler公式 ? Picard迭代 ? 中心 Euler公式 ? 梯形公式 ? 改進(jìn)的 Euler公式 ? Adams公式 ? ???? ?? 1 )(1 n pnxx qpnn dttyy ?),(1 nnnn yxfhyy ????),( 111 ??? ??? nnnn yxfhyy),(211 nnnn yxfhyy ??? ??? ?),(),( 1121 ??? ??? nnnnhnn yxfyxfyy),( )1( 11)( 1 ???? ??? knnnkn yxfhyy? ???????????????),(),(),(112111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxfhyy結(jié) 束
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