計算方法課件劉師少第一章數(shù)值計算方法-資料下載頁
2025-05-09 02:00本頁面
【正文】 , x2=(105105 )/2=0 (錯誤） ? 產(chǎn)生錯誤的原因 ① 出現(xiàn)大數(shù) 1010吃掉小數(shù) 4的情況 ② 分子部分出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減而喪失有 效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消 （ 3）絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù) 當(dāng)分母為兩個相近數(shù)相減時 ,會喪失有效數(shù)字 )(10)()( 4 分子分子分子 ???這里分子的誤差被擴大 104倍 ,再如 若將分母變?yōu)?,即分母只有 時 ,計算結(jié)果卻有了很大變化 減少運算誤差若干原則 ? ?例 計算 013 001 ?????D 解 : 分子分母分別計算后相除 (取 9位小數(shù) ) A=**=* =(有舍入 ) B=**=* =(有舍入 ) D=A/B= 真值為 …， 所以 D只準(zhǔn)確到小數(shù)后一位 減少運算誤差若干原則 例： 計算 算法 2。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計算 a=(有舍入 ) b= c=(有舍入 ) D=a*b*c=1. 666667* * =,準(zhǔn)確到小數(shù)后 5位。 013 001 ?????Db c a 減少運算誤差若干原則 （ 4）簡化計算步驟，減少運算次數(shù) x255=xx2x4x8x16x32x64x128 原先要做 254次乘法現(xiàn)只需 14次即可 又如計算多項式 p(x)=anxn? an1xn1 ? … ? a1x ? a0 的值 若直接計算 akxk,再逐項相加，一共要做 n+(n1)+… +2+1=n(n+1)/2次乘法和 n次加法 減少運算誤差若干原則 如果將前 n項提出 x， 則有 p(x)=（ anxn1? an1xn2 ? … ? a1 ） x ? a0 =((anxn2?an1xn3?… ? a2)x?a1） x ? a0 =(… (anx ? an1)x?… ?a2)x ? a1)x ? a0 寫成遞推公式 減少運算誤差若干原則 ??????? ??nknkkabnkaxbb01 ),2,1( ?于是 ,這種多項式求值的算法稱為秦九 韶算法 ,只做 n次乘法和 n次加法 ,程序?qū)崿F(xiàn)簡單 nbxP ?)( 控制遞推公式中誤差的傳播 對于一個數(shù)學(xué)問題的求解往往有多種數(shù)值方法在選擇數(shù)值方法時，要注意所用的數(shù)值方法不應(yīng)將計算過程中難以避免的誤差放大的較快，造成計算結(jié)果完全失真。 例 13 計算積分 并估計誤差 解 容易得到遞推公式 )10,2,1,0(1010 ???? ? ndxx xInn)10l n(101 10100????? ? xdxxI )10l n(101 10100 ????? ? xdxxI???? ?????? ????? ???? 10 110 110 1110 1010101010 101010 dxx xdxx xxdxx xxxdxx xI nnnnnnnn1101101 1011010 ??? ????? ?? nnn Indxxxdxx )10,2,1( ??n即 為 nI1101??? nn InI )10,2,1( ??n則準(zhǔn)確的理論遞推式 實際運算的遞推式 兩式相減有 01 101 II ??*0*1 101 II ??)(10)(10 *0*00*11 IeIIII ?????? )(10)1()()10()(10)( *00* 222* 11** IIIIIIIIIe nnnnnnnnn ???????????? ???? ?這就是說 ,若 與 的誤差為 = ,即 ，則誤差的遞推規(guī)律為 0I *0I )( *0Ie 0I *0I)( *0*00 IeII ??于是 )(10)(10)(10)( *010*82*9*10 IeIeIeIe ????? ?計算 時的誤差被擴大了 倍 ,顯然算法是數(shù)值不穩(wěn)定的。 如果將遞推公式 變換一種形式 *10I 10101101??? nn InI101011nnInI ???準(zhǔn)確的理論遞推式 實際運算的遞推式 從而有 101011 nnInI ???10101 **1nnInI ???)(101 ** 11 nnnn IIII ???? ??)(10 )1()(10 1)(10 1 **222*11*00 nnnnIIIIIIII ?????????? ?即 )(10 1)(10 1)(10 1)( *1010*22*1*0 IeIeIeIe ????? ?于是有 則這個算法的誤差傳遞規(guī)律為 10)()( **1nnIeIe ??? 即每計算一步的誤差的絕對值是上一步的十分之一，誤差的傳播逐步縮小，得到很好的控制，這個算法是數(shù)值穩(wěn)定的 本章小結(jié) 誤差在數(shù)值計算中是不可避免的，誤差的傳播和積累直接影響到計算結(jié)果的精度。在研究算法的同時，必須注重誤差分析，使建立起來的算法科學(xué)有效。 按照誤差產(chǎn)生的來源可分為模型誤差 、 觀測誤差， 截斷誤差 、 和舍入誤差等 。 誤差的表示法有絕對誤差和相對誤差兩種 。 在表示一個近似數(shù)時 ,要用到有效數(shù)字的概念 ,這在數(shù)值計算中非常有用 ,有效數(shù)字是由絕對誤差決定的 通常用函數(shù)的泰勒展開對誤差進行估計 作業(yè) 習(xí)題一 ~
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