數(shù)值計(jì)算方法第七章-資料下載頁(yè)
2025-05-15 00:07本頁(yè)面
【正文】 ????? 定理 (Ja co b i 法收斂性定理 ) 設(shè)nnRA?? 且 AAT? ，則經(jīng)典 Jac obi 法必收斂，即式 () 成立。 證明 只需證明 0)(o f flim ???kkA 。事實(shí)上，由定理 . 3 證明知， 2)1(1)(2)(o f f)(o f f????kpqkkaAA。 由于)1()1(ma x????kijjikpqaa ，故有 2)1(1))(1()(o f f????kpqkannA， 即 )(o f f)1(1)(12)1(???kkpqAnna 故 )(o f f])2(21[)(o f f1????kkAnnA 反復(fù)逆推上式得 )( 0)(o f f])2(21[)(o f f ?????? kAnnAkk Jacobi法的改進(jìn) 經(jīng)典 J a c o bi 法的一個(gè)主要缺點(diǎn)是每次迭代都要選主元，當(dāng)矩陣 A 的階數(shù) n 較大時(shí)，十分耗時(shí)。常見(jiàn)改進(jìn)方案有循環(huán) J a c o bi 法和過(guò)關(guān) J a c o bi 法。 循環(huán) J a c o bi 法的做法是： p 依次取 1,2, … ,n 1, 而 q依次取 p +1,p +2, … ,n ，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，而不選主元，如果 apq=0, 則不旋轉(zhuǎn)，取下一個(gè)元素，如此旋轉(zhuǎn)幾次可達(dá)目的。 過(guò)關(guān) J a c o bi 法是對(duì)循環(huán) J a c o bi 法再做一些改進(jìn)。在循環(huán) J a c o bi 法中給予一個(gè)“過(guò)關(guān)值” a, 當(dāng) | apq | = a時(shí)，此元素不旋轉(zhuǎn)，讓其過(guò)關(guān)，否則才做旋轉(zhuǎn)變換。 算法 過(guò)關(guān) J aco bi 法。 ( 1) 輸入：? ? 。,2,1, ?njia ij ?? ? ? 。,2,1,0 jinjir ij ??? ? ? ?。,2,11 nir ii ??? ( 2) 計(jì)算：。)(off11 ??? ?? An ( 3) 對(duì)npqnp ,1,1,2,1 ?? ????做 if1??pqat hen 做 1) 計(jì)算 c,s 。2)( 1 pqqqpp aaam ??? 。1)(s i g n 22mmmt???? 。11 32tcstc ???? 2) 計(jì)算1A中元素 。0。 1 ?????? qppqpqqqqqpqpppp aataaataaa? ?2 對(duì)ni ,2,1 ??做 ifqpi ,?t hen 。)1()1()1()1(iqqiiqippiipiqipiqiqipipaaaaaacasaasacaa????????? 3) 計(jì)算特征向量 對(duì)ni ,2,1 ??做 。)1()1()1()1(iqiqipipiqipiqiqipiprrrrcrsrrsrcrr??????? ( 4) if??? ?1t hen 輸出? ? ? ?njirnia ijii ,2,1,2,1 ?? ??，停機(jī) el sen11?? ?返回第 3 步 。 Jacobi方法評(píng)述 ? 優(yōu)點(diǎn)：算法簡(jiǎn)單，有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，無(wú)論矩陣 A的特征值分布如何， Jacobi法總是收斂的，算法實(shí)現(xiàn)容易。適合矩陣階數(shù)不大時(shí)求特征和特征向量。 ? 缺點(diǎn)：不能利用原有矩陣的特性，收斂速度慢。 QR 算法是目前求一般矩陣全部特征值和特征向量行之有效的 一種方法，它適合于對(duì)稱矩陣，也適合于非對(duì)稱矩陣 。 QR 算法最早在 1961 年由J .G .F r anci s 提出的，后來(lái)竟一系列數(shù)學(xué)家進(jìn)行深入討論斌作出了做有成效的改進(jìn)與發(fā)展。 7. 3 Q R 算法 Householder變換 定義 設(shè) nRw ? ，且12 ?w，則初等矩陣 )( 2)( TwwIwH ?? 稱為 H ous eho l der 變換矩陣，也稱初等鏡面反射矩陣。 Householder矩陣基本性質(zhì) 性質(zhì) 1 H 是對(duì)稱正交矩陣，即 1??? HHH T 。 事實(shí)上， H 的對(duì)稱性是顯然的，正交性證明如下： IIwwIHHH ??????? TTT2T2T )(44)2( 性質(zhì) 2 設(shè)HxyRx n ?? ,，則22 xy ?。 事實(shí)上， 2222)( xxxHxHxHxHxyyy TTTTT ????? 性質(zhì) 2 的意義是任意向量 nRx ? ，在 H ouse h ol der 變換作用下， Eucl i d 長(zhǎng)度不變。此外，由xwwxHxy T2???知 wxwyx )2( T?? 由于 xw T2 是實(shí)數(shù)，上式表示向量yx ?與向量 w 平行。 性質(zhì) 3 設(shè)nRyx ?,，yx ?，且22yx ?，則由向量2yxyxw???確定的 H ouse hol d 矩陣)( wH, 使得yxH ?。 證明 由假設(shè)知12?w且yyxx TT ?，于是有 xyxxyxxyyxyyxxxyxyxyxTTTTTTTT22)(222 )()(???????????? 因此 yyxxyxyxxxwwxHxTT????????22))((22 例 7. 設(shè)Tx )12,4,3(?, 試求 H 矩 陣 ， 使TyHx )0,0,13( ???。 解 Tyxu )13,4,16(???，于是 ? ????????????????????????????????????4 3 123 12 4 12 4 3 131 12,4,16124 1641621 0 00 1 00 0 1222uuuIHT 直接驗(yàn)證THx )0,0,13( ??。 計(jì)算THxy )0,. .. ,0,( ????的步驟 如下 ： 1 ）21121))((s i g n ???niixx? 2 ）TnTn uuuxxxu ), ... ,(), ... ,( 2121 ??? ? 3 ）11 )( ux ???? ??? 4 ）uxy ??
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