【正文】 求根方法。 )( kxf ?)(xf)( kxf ?73/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 弦截 法 弦截法在迭代過(guò)程中不僅用到前一步 處的函數(shù)值，而且還使用 處的函數(shù)值來(lái)構(gòu)造迭代函數(shù)，這樣做能提高迭代的收斂速度。 稱之為 多點(diǎn)迭代法 。 kx1?kx74/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 弦截 法 弦截法的基本思想 為避免計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ， 使用差商 替代牛頓公式中的導(dǎo)數(shù) ,便得到迭代公式 稱為 弦截迭代公式 ， 相應(yīng)的迭代法稱為 弦截法 。 )()()(11????kkkkxxxfxf)( kxf ?)()()()(111 ??? ???? kkkkkkk xxxfxfxfxx),2,1( ??k)( kxf ?75/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 弦截 法 弦截法的幾何意義 弦截法也稱割線法 ,其幾何意義是用過(guò)曲線上兩點(diǎn) 、 的割線來(lái)代替曲線 ,用割線與 x軸交點(diǎn)的橫座標(biāo)作為方程的近似根 再過(guò) ))(,( 000 xfxP ))(,( 111 xfxP2x P 1 y=f (x) x 0 x 2 x 3 x 1 x* P 3 P 0 P 2 P1點(diǎn)和點(diǎn) 作割線求出 ,再過(guò) P2點(diǎn)和點(diǎn) 作割線求出 ,余此類推，當(dāng)收斂時(shí)可求出滿足精度要求的 ))(,( 222 xfxP3x))(,( 333 xfxP 4xkx76/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 弦截 法 可以證明，弦截法具有超線性收斂，收斂的階約為 ，它與前面介紹的一般迭代法一樣都是線性化方法，但也有區(qū)別。即一般迭代法在計(jì)算 時(shí)只用到前一步的值 ，故稱之為 單點(diǎn)迭代法 ；而弦截法在求 時(shí)要用到前兩步的結(jié)果 和 ，使用這種方法必須給出兩個(gè)初始近似根 ，這種方法稱為 多點(diǎn)迭代法 。 1?kxkx1?kx1?kx kx10 , xx77/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ?0)(0?xf ?0)(1?xf ?0)()(01?? xfxf 2010111)()()()(xxxxfxfxfx ???? ?12??? xx 輸 入 x0, x1, ε ,N 1 ? k k+ 1 ? k x1 ? x0 x2 ? x1 f (x1) ? f (x0) f (x2) ? f (x1) 輸出 x2 輸出迭代 失敗標(biāo)志 結(jié) 束 n k N? n n y 輸出奇 異標(biāo)志 y y x0 ? x2 x1 ? x2 n y y n 輸出 x2 弦截法算法實(shí)現(xiàn) 78/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 弦截 法 例 用弦截法求方程 在 初始 值鄰近的一個(gè)根。要求 解：取 , , 令 利用弦截迭代公式 易見取近似根 可滿足精度要求。 xex ?? 0 ?x0 0 0 ??? kk xx ?x ?x xexxf ???)()()()()(111 1 ?????? ???????? kkxxkkxkkk xxeexxexxxkkk5 6 7 1 ?x79/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis FindRoot 1. FindRoot[lhs==rhs, {x,x0} ] searches for a numerical solution to the equation lhs==rhs, starting with x=x0. 2. FindRoot[lhs==rhs,{ x,{ x0,x1} ] searches for a solution using x0 and x1 as the first two values of x. This form must be used if symbolic derivatives of the equation cannot be found. Mathematica中的數(shù)值求根方法 80/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 解非線性方程組的迭代解法 考慮非線性方程組 在點(diǎn) (x0,y0)作二元 Taylor展開，并取線性部分 12( , ) 0 ( , ) 0f x yf x y?????1 0 0 1 0 01 1 0 0 0 02 0 0 2 0 02 2 0 0 0 0( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( ) 0( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( ) 0f x y f x yf x y f x y x x y yxyf x y f x yf x y f x y x x y yxy???? ? ? ? ? ?????? ??? ? ? ? ? ? ?????81/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 解非線性方程組的迭代解法 1 0 0 1 0 00 0 1 0 02 0 0 2 0 00 0 2 0 0( , ) ( , )( ) ( ) ( , )( , ) ( , )( ) ( ) ( , )f x y f x yx x y y f x yxyf x y f x yx x y y f x yxy???? ? ? ? ?? ??????? ? ? ? ? ?????整 理 得這是 關(guān)于 x,y的線性方程組 。 從而將非線性方程組進(jìn)行了線性化。這是目前解決非線性問(wèn)題的主要方法 。 82/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 解非線性方程組的迭代解法 000 0 0 0110022( , )001 0 01 0 0 , , ( , ) 0 , ( , ) . xyx x x y y yffxyJ x yffxyxyx x x xy y y y??????? ? ? ???????????? ? ???? ? ??令 如 果則 前 面 線 性 方 程 組 具 有 唯 一 解 則 迭 代 一 步83/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 解非線性方程組的迭代解法 2 1 12 1 1 x x x xy y y y??? ? ??? ? ? ??類 似 辦 法 迭 代 下 一 步 可 得 ，最后我們得到求解 非線性方程組的牛頓迭代格式 11 0 , 1 , 2 ,k k kk k kx x x ky y y??????? ????? m a x ( | |, | | ) ,xy? ? ?當(dāng) 時(shí) 停 止 迭 代 。84/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 解非線性方程組的迭代解法 例 解非線性方程組 解： 取 Jacobi矩陣為 2201021 ( , ) 4 0 .1 . 7( , ) 1 0 xxf x y x yyf x y e y? ?? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ??， 迭 代 初 值 為112222( , )1xffxyxyJ x yff exy?????? ??? ? ? ????? ???? ??????????85/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 解非線性方程組的迭代解法 0000( , )1 0 02 0 022 2 3 . 4( , )2 . 7 1 8 2 8 11( , ) 0 . 1 1( , ) 0 . 0 1 8 2 8xxyxyJ x yef x yf x y?? ???? ???? ???????? ?????? ??? ?????????10102 256 28 28 8461 256 = 425 6 846 849x y xx y yx x xy y y? ? ?? ? ???? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ?? 繼續(xù)做下去，直到 時(shí)停止。 6m a x( | |, | | ) 10xy?? ?86/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 解非線性方程組的迭代解法 f1[x_,y_]:=4x^2y^2。 f2[x_,y_]:=1Exp[x]y。 FindRoot[{f1[x,y],f2[x,y]},{{x,},{y,}}] {x= ,y= } FindRoot[{f1[x,y],f2[x,y]},{{x,},{y,}}] {x= ,y= } 87/87 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 非線性方程的解通常叫做方程的根 ,也叫做函數(shù)的零點(diǎn) ,本章討論了求解非線性方程近似根常用的一些數(shù)值方法 。 先要確定有根區(qū)間 ,且對(duì)于收斂的迭代格式 ,這個(gè)區(qū)間要足夠小 。 針對(duì)各種求根的數(shù)值方法的特點(diǎn) ,要考慮其收斂性 、 收斂速度和計(jì)算量 。 二分法是逐步將含根區(qū)間分半 ,主要用來(lái)求實(shí)根 。迭代法是一種逐次逼近的方法 ,起著把根的精確值一步一步算出來(lái)的作用 。牛頓法具有較快的收斂速度 ,但對(duì)初值選取要求較高 。 弦截法避開了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 ,具有超線性的收斂速度 ,每計(jì)算一步 ,要用到前面兩步的信息 。 本章小結(jié)