【正文】 nfffhyyyy??????????????????????其中 ?i、 ?i均為與 f,n無關(guān)的常數(shù)， ?r、 ?r不同時(shí)為 0。由于求 yn+1時(shí)要到前 r+1步的信息 ynr， … ， yn 及對應(yīng)的 f 值，因稱它為 r+1步法。 ?1=0， 式（ 821）為顯式， ?1?0時(shí)，式（ 821）為隱式。 W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 852 阿當(dāng)姆斯 Adams公式 當(dāng)式 （ 821） 中系數(shù) ?0=1, ?1=…= ?r=0時(shí)，稱之為 阿當(dāng) 姆斯（ Adams）公式 ，這類公式很容易借助數(shù)值積分導(dǎo) 出。設(shè) y(x)是初值問題（ 81）的準(zhǔn)確解，則 : ))(,()( xyxfxy ??兩邊從 xn到 xn+1積分，得 : 2 2 )(8 d))(,()()( 11 ? ???? nnxxnnxxyxfxyxy 對此式右端應(yīng)用數(shù)值積分公式，則可導(dǎo)出不同的阿當(dāng) 姆斯公式。例如，記 fj=f (xj ,y(xj))，取數(shù)據(jù)點(diǎn) (xn1, fn1)， (xn ,fn) 構(gòu)造 f 的線性插值多項(xiàng)式 : ))()((21))((!21)(1122nnnnnxxxxxyxxxxdxfdxRn????????? ?????)()(,( 1111 xRfxxxxfxxxxxyxfnnnnnnnn ???????????）其中： W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 853 阿當(dāng)姆斯 Adams公式（續(xù)） 于是得差分公式表示近似值并仍用截去誤差，則得：將上式代入式),(d)(d)()3(2)()()228(1111nnnxxxxnnnnyxffxxRxxRffhxyxynnnn????????? ??示公式。為一個(gè)二階阿當(dāng)姆斯顯可見公式據(jù)積分中值定理可得：其局部截?cái)嗾`差為：)238(),( ),(125d))(()(21d))()((21d)(2 3 )(8 )3(2113111111111????????????????????????????????????nnnnxxnnnnxxnnnxxnnnnnxxyhxxxxxyRxxxxxyxxRRffhyynnnnnn????W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 854 r+1步阿當(dāng)姆斯 顯式 公式 （又稱 AdamsBashforth公式） 類似地，取數(shù)據(jù)點(diǎn)（ xnr, fnr）、 (xnr+1, fnr+1)、 … 、 (xn,fn)， 構(gòu)造 f (x, y(x))的 r 次插值多項(xiàng)式，可導(dǎo)出 r+1步阿當(dāng)姆斯顯式公式（又稱 AdamsBashforth公式）及其局部截?cái)嗾`差 : 2 4 )(8 ),( )()(1)2(211101????????????????????nrnnnrrrrnrrnrnrrnnxxyhTfBfBfBAhyy????r Ar Br0 Br1 Br2 Br3 Br4 ?r+1 0 1 1 1/2 1 2 3 ?1 5/12 2 12 23 ?16 5 3/8 3 24 55 ?59 37 ?9 251/720 4 720 1901 ?2774 2616 ?1274 251 95/288 其系數(shù)見如下表 88，顯然具有 r+1階精度。 W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 855 r+1步阿當(dāng)姆斯 隱式 公式 （又稱 Adams Moulton公式） 2 5 )(8 ),( )()(11)2(21*11*0*11*1????????????????????????nrnnnrrrrnrrnrnrrnnxxyhTfBfBfBAhyy????若改取數(shù)據(jù)點(diǎn)（ xnr+1, fnr+1）、 (xnr+2,fnr+2)、 … 、 (xn+1, fn+1)，構(gòu)造 f (x, y(x))的 r次插值多項(xiàng)式，則可 以導(dǎo)出 n+1步阿當(dāng)姆斯隱式公式（又稱 Adams Moulton公式 ）及其局部截?cái)嗾`差： W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 856 其系數(shù)見下 表 89，顯然也具有 r+1階精度。 r Ar Br1* Br0* Br1* Br2* Br3* ?r+1* 0 1 1 ?1/2 1 2 1 1 ?1/12 2 12 5 8 ?1 ?1/24 3 24 9 19 ?5 1 ?19/720 4 720 251 646 ?264 106 ?19 ?3/160 可見，一階阿當(dāng)姆斯顯式公式（對應(yīng) r=0）即為歐 拉公式；一階與二階阿當(dāng)姆斯隱式公式對應(yīng) r=0與 r=1，分別為后退歐拉公式與梯形公式。 r+1步阿當(dāng)姆斯 隱式 公式 （又稱 Adams Moulton公式）（續(xù)） W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 857 四階阿當(dāng)姆斯顯式公式 高階阿當(dāng)姆斯公式中最常用的是四階公式，對應(yīng) r=3。若 選 xn3 , xn2， xn1 , xn作為插值節(jié)點(diǎn)，則四階阿當(dāng)姆斯顯式 公式（又稱為外推公式）及其局部截?cái)嗾`差為 ： 2 6 )(8 ),( ),(7 2 02 5 1)9375955(24135513211?????????????????????nnnnnnnnnnnxxyhRffffhyy?? 此公式的優(yōu)點(diǎn)是精度高，其局部截?cái)嗾`差與四階 RK法 同階，但每前進(jìn)一步只要計(jì)算一次函數(shù)值 f (xn,yn)，其余 的值 f 在前面的計(jì)算中已求出，計(jì)算量遠(yuǎn)小于 四階 RK法 。 不足之處是不能從 n=1開始使用，必須用其它方法（例如 四階 RK法）求得出發(fā)值 y y y3。此外，若要中途改變 步長也較麻煩。 W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 858 四階阿當(dāng)姆隱式公式內(nèi)插公式及其局部截?cái)嗾`差為（取 xn2,xn1,xn,xn+1為插值節(jié)點(diǎn)）： 2 7 )(8 ),( )(7 2 019)5199(2412552111?????????????????????nnnnnnnnnnxxyhTffffhyy?? 它也具有公式（ 826）的優(yōu)缺點(diǎn)，只是對 yn+1必須提供一個(gè)預(yù)測值，然后通過迭代才能求得 yn+1。將公式（ 826）與公式（ 827）聯(lián)合使用，可組成如下預(yù)測一校正系統(tǒng)： 28)(8 ),( )5199(24 ),( )9375955(24 11121111113211???????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxffffffhyyyxffffffhyy校正預(yù)測四階阿當(dāng)姆斯顯式公式（續(xù)） W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 859 阿當(dāng)姆斯公式舉例 例 5 分別用四階阿當(dāng)姆斯顯式公式（ 826）與阿當(dāng)姆斯預(yù) 測一校正公式 （ 828）解例 3中的初值問題。 解 取步長 h=，由于公式（ 89）、（ 828）均為四步法，因此必須用其它方法求出發(fā)值?，F(xiàn)采用四階標(biāo)準(zhǔn)龍格庫塔法求 y1 ,y2 , y3 ‘然后再分別用指定的方法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表 810。 表 810 xn yn 四階標(biāo)準(zhǔn) RK法 顯式公式 （ 825） 預(yù)測 校正公式（ 828） 準(zhǔn)確解 W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 860 阿當(dāng)姆斯預(yù)測 — 校正公式 為了進(jìn)一步提高 上述 預(yù)測一校正法的計(jì)算精度，可以利用預(yù)測公式與校正公式同階的特點(diǎn)，導(dǎo)出局部截?cái)嗾`差估計(jì)公式，對預(yù)測值與校正值分別用各自的局部截?cái)嗾`差估計(jì)值進(jìn)行修正，以此來提高解的精度。由式 （ 826） 、（ 827） 可知，公式 （ 828） 中預(yù)測公式與校正公式的局部截?cái)嗾`差分別為 ： )(7 2 019)(7 2 02 5 1 )5(5)5(5 nn yhyh ?? ?和若記預(yù)測值為 pn+1，校正值為 +1，則： 192 5 1)()()(7 2 019)()(7 2 02 5 1)(1111)5(511)5(511?????????????????nnnnnnnnnncxypxyxyhcxyxyhpxy所以： 緊接下屏 W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 861 于是得 pn+1與 +1的事后誤差估計(jì)： )(2 7 019)()(2 7 02 5 1)(11111111???????????????nnnnnnnncpcxycppxy阿當(dāng)姆斯預(yù)測 — 校正公式（續(xù)） )(27019)(270251:111111??????????nnnnnncpccpp和因此，可以期望用 分別代替 pn+1與 +1能提高解的精度。為簡單計(jì)，在未求出+1以前，用 pn?代替 pn+1?+1。 W Y 阜師院數(shù)科院 第八章 常微分方程數(shù)值解法 862 阿當(dāng)姆斯帶誤差修正的預(yù)測 — 校正公式 據(jù)此，得到下述帶誤差修正的預(yù)測一校正公式 ： 2 9 )(8 ),( )(2 7 019 )5199(24 ),( )(2 7 02 5 1 )9375955(24 11111112111111113211??????