線性方程組ax=b的數(shù)值解法(j)-資料下載頁
2025-08-05 11:07本頁面
【正文】 線性方程組的迭代法（續(xù) 3） ? 定義 設(shè)有 N N維矩陣 A，如果 1,Nk k k jj j kaa??? ? 其中 k＝ 1,2,…, N 則稱 A具有嚴(yán)格對角優(yōu)勢 （ 嚴(yán)格對角占優(yōu) ）。 ? 定理 （雅可比迭代）設(shè)矩陣 A具有嚴(yán)格對角優(yōu)勢，則 AX=B有唯一解 X=P。利用雅可比迭代可產(chǎn)生一個向量序列 {Pk}，而且對于任意初始向量 P0，向量序列都將收斂到 P。 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 求解線性方程組的迭代法（續(xù) 4） ? 向量之間的距離可以用來判斷 {Pk}是否收斂到 P。因?yàn)閮蓚€向量 P=(x1,x2,…, xN)和 Q=(y1,y2,…, yN)之間的歐幾里德距離 12221()NjjjP Q x y???? ? ??????計算復(fù)雜；而 1－范數(shù)具有度量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也適合作為一個一般化的“距離公式”。而且根據(jù)線性代數(shù)的理論可知，如果兩個向量的 ||＊ ||1范數(shù)接近，則它們的歐幾里德范數(shù) ||＊ ||2也接近。所以定義兩個N維向量的距離為 ||＊ ||1范數(shù)，用來確定 N維空間中的收斂性 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 求解線性方程組的迭代法（續(xù) 5） ? 1范數(shù)： 滿足一般向量范數(shù)的性質(zhì) 11NjjXx?? ?定理 設(shè) X和 Y是 N維向量， c是一個標(biāo)量。則函數(shù)||X||有如下性質(zhì)： ?正定性 ： ||X||≥0， ||X||=0當(dāng)且僅當(dāng) X=0 ?齊次性 ： ||cX||=|c|||X|| ?三角不等式 ： ||X+Y||≤||X||+||Y|| 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 GaussSeidel迭代法 001 1 1 2 2 1111101 2 2 1 1 22221 1 11 1 1 2 2 1 1()()()nnnnn n n n n nnnnb a x a xx ab a x a xx ab a x a x a xx a??? ? ??? ? ??? ? ? ???初始估計值 00201 , nxxx ??迭代一步后的結(jié)果： 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 1 1 12 2 111111 2 21 1 22221 1 11 1 1 2 2 1 1()()()kkk nnkkk nnk k kk n n n nn nnnnb a x a xx ab a x a xx ab a x a x a xx a???? ? ?? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? 每一次迭代新產(chǎn)生的 被認(rèn)為是比 更好的 xj的近似值，所以在計算 xj+1時用 來替換 是合理的 GaussSeidel迭代法（續(xù) 1） 1kjx?kjxkjx? k步迭代后的結(jié)果： ? 矩陣 A具有嚴(yán)格對角優(yōu)勢時，高斯－賽德爾迭代收斂 1kjx?華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 GaussSeidel迭代法（續(xù) 2） 5283123232121?????????? x x x x x x x0,0,0 030201 ??? xxx253821121331112211?????????????kkkkkkkx xxx xx x1步 GS迭代之后： 迭代初始值： 2253382012112130311120211????????????????????xxxxxx x例 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 GaussSeidel迭代法（續(xù) 3） ? 2步迭代之后 0 2 7 29 4 4 259 4 4 3)0 8 3 (9 1 6 389 1 6 22122231321221221?????????????????????xxxxxxx0 8 3 3 8 3 3 131211????xxx132321????xxx9步迭代之后 1步迭代之后 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 求解線性方程組的迭代法（續(xù) 6） ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1( 1 )()1,( ) /k k k kj j jj j jj j jN NkjjjNkj ji i jji i jb a x a x a x a xxab a x a? ? ? ????? ? ? ? ? ???? ?雅可比迭代： 高斯－賽德爾迭代： ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1( 1 )1( 1 ) ( )11( ) /k k k kj j jj j jj j jN Nkjjjj Nkkj ji i ji i jji i jb a x a x a x a xxab a x a x a??? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ???華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 J迭代和 GS迭代的比較 ?一般來說，用 J迭代、 GS迭代都收斂的問題，用 GS迭代收斂更快 ? J迭代保留上一步所有點(diǎn)的值，花費(fèi)存儲空間，適合并行運(yùn)算，節(jié)省計算時間 ? G迭代每計算出一個新點(diǎn)都用于下一步的計算中，不須保留上一步所有點(diǎn)的值，節(jié)省存儲空間，但只能串行計算
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