【正文】 ?? ( /2)1hny???? ???1 ( , , )n n n ny y h x y h?? ??nx ny ()nyx 單步法的收斂性與穩(wěn)定性 ? 收斂性與相容性 數(shù)值解法的基本思想是通過離散將微分方程轉(zhuǎn)化為 差分方程，如單步法 (1) 它在 處的解為 ，而初值問題的解為 ，記 ，稱為整體截?cái)嗾`差，收斂性就是討論當(dāng) 固定，且 時(shí) 的問題。 定義 3 若一種數(shù)值方法對(duì)于固定的 ，當(dāng) 時(shí)有 ，則稱該方法是收斂的。 顯然，數(shù)值方法收斂是指 ，對(duì)單步 法 (1)有下述收斂性定理： 1 ( , , )n n n ny y h x y h?? ??nx ny ()nyx()n n ne y x y??nxx? 0 0nxxh n??? 0ne ?0nx x nh?? 0h?1( , )nny y x y???( ) 0n n ne y x y? ? ? 單步法的收斂性與穩(wěn)定性 定理 1 假設(shè)單步法 (1)具有 階精度，且增量函數(shù) 關(guān)于 滿足利普希茨條件 (2) 又設(shè)初值 準(zhǔn)確，即 ，則其整體截?cái)嗾`差為 (3) 證明：設(shè)以 表示取 用公式 (1)求得的結(jié)果 , 固定，且 時(shí) 的問題。 定義 3 若一種數(shù)值方法對(duì)于固定的 ，當(dāng) 時(shí)有 ，則稱該方法是收斂的。 顯然，數(shù)值方法收斂是指 ，對(duì)單步 法 (1)有下述收斂性定理： nxx? 0 0nxxh n??? 0ne ?0nx x nh?? 0h?1( , )nny y x y???( ) 0n n ne y x y? ? ?( , , )x y h? y( , , ) ( , , )x y h x y h L y y??? ? ? ?0y 00()y y x?( ) ( )pnny x y O h??1ny? ()nny y x?p 定理 1 假設(shè)單步法 (1)具有 階精度，且增量函數(shù) 關(guān)于 滿足利普希茨條件 (2) 又設(shè)初值 準(zhǔn)確，即 ，則其整體截?cái)嗾`差為 (3) 證明：設(shè)以 表示取 用公式 (1)求得的結(jié)果 , 即 (4) 則 為局部截?cái)嗾`差，由于所給的方法具有 階精度，按定義 2，存在定數(shù) ，使 又由 (4)和 (1)，有 p( , , )x y h? y( , , ) ( , , )x y h x y h L y y??? ? ? ?0y 00()y y x?( ) ( )pnny x y O h??1ny? ()nny y x?1 ( ) ( , ( ) , )n n n ny y x h x y x h?? ??11()nny x y??? pC111() pnny x y C h ????? 利用條件 (2)，有： 從而有 即對(duì)整體截?cái)嗾`差 成立下列遞推關(guān)系： 反復(fù)遞推，可得： 證明：設(shè)以 表示取 用公式 (1)求得的結(jié)果 , 即 (4) 則 為局部截?cái)嗾`差，由于所給的方法具有 階精度，按定義 2，存在定數(shù) ，使 又由 (4)和 (1)，有 1ny? ()nny y x?1 ( ) ( , ( ) , )n n n ny y x h x y x h?? ??11()nny x y??? pC111() pnny x y C h ?????11 ( ) ( , ( ) , ) ( , , )n n n n n n n ny y y x y h x y x h x y h????? ? ? ? ?11 (1 ) ( )n n n ny y h L y x y???? ? ? ?11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) pn n n n n n n ny x y y y y x y h L y x y C h? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?()n n ne y x y??11 (1 ) pnne h L e C h? ?? ? ? ? 利用條件 (2)，有： 從而有 即對(duì)整體截?cái)嗾`差 成立下列遞推關(guān)系： 反復(fù)遞推，可得： 再注意到當(dāng) 時(shí)， ，最 終得到下列估計(jì)式： 由此可以斷定，如果初值是準(zhǔn)確的，則 (3)成立。 11 ( ) ( , ( ) , ) ( , , )n n n n n n n ny y y x y h x y x h x y h????? ? ? ? ?11 (1 ) ( )n n n ny y h L y x y???? ? ? ?11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) pn n n n n n n ny x y y y y x y h L y x y C h? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?()n n ne y x y??11 (1 ) pnne h L e C h? ?? ? ? ?0( 1 ) [ ( 1 ) 1 ]pnnnChe h L e h LL?? ?? ? ? ? ?0nx x n h T? ? ? (1 ) ( )h L T Lnnh L e e???? ? ?0 ( 1 )pTL TLnChe e e eL???? ? ? 推論：對(duì)于一個(gè) 階的顯式單步法，若微分方程的 右端函數(shù) 關(guān)于 滿足利普希茨條件，且初值是精 確的，則顯式歐拉法，改進(jìn)歐拉法和龍格－庫塔方法 是收斂的。 定理 1表明， 時(shí)單步法收斂，并且當(dāng) 是初值 問題的解，且具有 階精度時(shí)，有展開式： 再注意到當(dāng) 時(shí)， ，最 終得到下列估計(jì)式： 由此可以斷定，如果初值是準(zhǔn)確的，則 (3)成立。 0( 1 ) [ ( 1 ) 1 ]pnnnChe h L e h LL?? ?? ? ? ? ?0nx x n h T? ? ? (1 ) ( )h L T Lnnh L e e???? ? ?0 ( 1 )pTL TLnChe e e eL???? ? ?p( , )f x y y1p? ()yxp 推論：對(duì)于一個(gè) 階的顯式單步法，若微分方程的 右端函數(shù) 關(guān)于 滿足利普希茨條件，且初值是精 確的，則顯式歐拉法，改進(jìn)歐拉法和龍格－庫塔方法 是收斂的。 定理 1表明， 時(shí)單步法收斂，并且當(dāng) 是初值 問題的解，且具有 階精度時(shí)，有展開式： 所以 的充要條件是 ，而 ，于是可給出如下的定義： 定義 4 單步法的增量函數(shù) 稱為該單步法 與初值問題相容。 p( , )f x y y1p? ()yxp122( ) ( ) ( , ( ) , )()( ) [ ( , ( ) , 0 ) ( , ( ) , 0 ) ]2[ ( ) ( , ( ) , 0 ) ] ( )nxT y x h y x h x y x hyxy x h h h x y x x y x hh y x x y x O h????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ?1p? ( ) ( , ( ) , 0 ) 0y x x y x?? ??( ) ( , ( ) )y x f x y x? ?( , , 0 ) ( , )x y f x y? ? 以上討論表明 階方法當(dāng) 與初值問題相容， 反之，相容的方法至少是一階的。 于是，由定理 1可知，線性單步方法收斂的充分必 要條件是該方法是相容的。 ? 絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域 所以 的充要條件是 ，而 ，于是可給出如下的定義： 定義 4 單步法的增量函數(shù) 稱為該單步法 與初值問題相容。 122( ) ( ) ( , ( ) , )()( ) [ ( , ( ) , 0 ) ( , ( ) , 0 ) ]2[ ( ) ( , ( ) , 0 ) ] ( )nxT y x h y x h x y x hyxy x h h h x y x x y x hh y x x y x O h????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ?1p? ( ) ( , ( ) , 0 ) 0y x x y x?? ??( ) ( , ( ) )y x f x y x? ?( , , 0 ) ( , )x y f x y? ?p 1p? 以上討論表明 階方法當(dāng) 與初值問題相容， 反之，相容的方法至少是一階的。 于是，由定理 1可知，線性單步方法收斂的充分必 要條件是該方法是相容的。 ? 絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域 定義 5 若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值 上有大小為 的擾動(dòng)，而于以后各節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的偏差均不超過 ， 則稱該方法是穩(wěn)定的。 例 4 考察初值問題 p 1p?100(0 ) 1yyy? ???? ??其準(zhǔn)確解 是一個(gè)按指數(shù)曲線衰減的很快的函 數(shù)，如圖： ? 絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域 定義 5 若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值 上有大小為 的擾動(dòng)，而于以后各節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的偏差均不超過 ， 則稱該方法是穩(wěn)定的。 例 4 考察初值問題 100(0 ) 1yyy? ???? ??100() xy x e ??其準(zhǔn)確解 是一個(gè)按指數(shù)曲線衰減的很快的函 數(shù)，如圖： 100() xy x e ??0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 6 0 . 1 8 0 . 200 . 0 50 . 10 . 1 5xe x p ( 100 x ) 用歐拉方法解該方程，得到： 若取 ，則歐拉法的具體形式為： 若取 ，則歐拉法的具體形式為： 顯然，前一形式計(jì)算不穩(wěn)定，后一形式計(jì)算穩(wěn)定。 再考察后退歐拉方法，可以得到，當(dāng) 時(shí)，計(jì) 算是穩(wěn)