chapt-4線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法-資料下載頁
2024-10-17 03:08本頁面
【正文】 范數(shù)。 可以證明，矩陣的這三種范數(shù)還具有以下 3種性質(zhì) ：（滿足性質(zhì)（ 1）的矩陣范數(shù)成為 相容范數(shù) ） （ 1） （ 2）單位矩陣 I的范數(shù) （ 3） 時 可逆且 1 1 1m a x ( )nijjnia???? ?A1 1m a x ( )nijinja??? ?? ?A2 ()?? TA A A? TAA TAA TAA?A x A x1?I1?B IB1( ) 1 /( 1 )? ??I B B() 167。 舍入誤差對解的影響 例 43 設(shè) 則 1 2 01 2 10 1 1????????????? ?1 m a x ( 1 1 0 ) , ( 2 2 1 ) , ( 0 1 1 ) 5? ? ? ? ? ? ? ?A? ?m a x ( 1 2 0 ) , ( 1 2 1 ) , ( 0 1 1 ) 4? ? ? ? ? ? ? ? ?A1 1 0 1 2 0 2 0 92 2 1 1 2 1 0 9 10 1 1 0 1 1 1 1 2?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?TAA167。 舍入誤差對解的影響 它的三個根為 167。 誤差分析 設(shè)線性方程組 Ax=b中， A為非奇異矩陣， x為方程組的精確解。假定 b有誤差?b,則解為 x+?x,即 322 0 9d e t( ) 0 9 11 1 21 3 3 8 2 5 0????? ? ??????? ? ? ??? ????? ? ? ? ?TI A A2 m a x 9 . 1 4 2 3 . 0 2 3 7i?? ? ?A1 2 39 . 1 4 2 , 2 . 9 2 1 , 0 . 9 6 3 1? ? ?? ? ?2 2 2 2 2 2 2 1 / 2( 1 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 1 ) 1 3 3 . 6 0 5 6F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A() ?A x + Δ x b + Δ b167。 舍入誤差對解的影響 即 兩邊取范數(shù) 又因 由（ 430）和（ 431）式，得 另外，若矩陣 A有誤差 ?A， 則解為 x+?x，即 ???A x bA Δ x Δ b1??Δx A Δb11????Δ x A Δ b A Δ b??A x A x b() () () () () 1??Δ x Δ bAAxb() ( ) ( )??A Δ A x + Δ x b() 167。 舍入誤差對解的影響 即有 雖然 A為非奇異，但不能保證 A+?A也為非奇異，為保證 A+?A為非奇異，需對 ?A作些限制。 因?yàn)? 由（ 426）式，若 ，則 存在，因此（ )式變?yōu)? 由（ 434）和（ 435）式，得 兩邊取范數(shù) ()? ? ?A Δ A Δ x Δ A x() 1()?? ? ?A Δ A A I A Δ A() 1 1? ?A ΔA 11()???IA ΔA1 1 1 1( ) ( )? ? ? ?? ? ?A Δ A I A Δ A A() 1 1 1()? ? ???Δ x I A Δ A A Δ A x() 1 1 11111()11? ? ???????????Δ x I A Δ A A Δ A xA Δ A x A Δ A xA Δ A A Δ A() 167。 舍入誤差對解的影響 設(shè) ，則得 從（ 432）和（ 439）式可以看出，如果線性方程組 Ax=b中， A或的微小變化，都將引起方程解 x為 倍，若這個倍數(shù)巨大，則方程組定義為 “ 病態(tài)方程組 ” ，矩陣 A為 “ 病態(tài)矩陣 ” ，否則定義為 “ 病態(tài)方程組 ” 或矩陣 A為 “ 良態(tài)矩陣 ” 。此時，我們稱 為條件數(shù)，即 常用的條件數(shù)有 1 1? ?A ΔA111????ΔAAAΔ x AΔAxAAA() 1?AA1?AA1c o n d ( ) ??A A A () 1c o n d ( ) ?? ? ??A A A1 m a x2 2 2m i nc o n d ( ) ?????TTAAA A AAA() 167。 舍入誤差對解的影響 例 44 試計(jì)算 ，并取 6位有效數(shù)字。 解 （ 1） 直接計(jì)算 若使用 Gauss列主元消去法，經(jīng)消元則可得 77121 1 0 1 01 1 2xx? ? ? ??? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?cond( )?A17771 1 0 1 1 011 0 11 1 1 1?? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?1A77177( 1 0 1 ) ( 1 0 1 )c o n d ( ) 1 01 0 1?? ? ???? ? ??A A A120 , 1xx??167。 舍入誤差對解的影響 （ 2） 間接計(jì)算，在上線性方程組兩邊同乘以矩陣 則有 故 用 Gauss主元消去法得 71 0 001???? ????D71211 0 1211xx??? ?? ???? ? ? ?????????17177111 0 1 11 1 01 1 011??????? ?????? ???????A1722c o n d ( ) 41 1 0?? ?? ??? ? ??A A A121, 1xx??習(xí) 題 41 用 Gauss消去法求解下列方程組 Ax=b 42 求 cond(A)2和 cond(A)∞. 1 1 1 1( 1 ) 1 2 2 , 02 1 1 1?? ? ? ?????? ? ????????? ? ? ?Ab26( 1 )2 6 . 0 0 0 0 1???????A上機(jī)實(shí)習(xí)題 43 用選列主元的高斯消去法求解下列方程組： 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 44 1 9 7 3 0 5 2 0 6 8 4 0 1 3 66 .8 7 1 .3 4 7 .4 5 2 1 1 .58 8 .6 7 6 .4 1 0 .8 8 0 2 2 5 .71 .4 5 5 .9 6 .1 3 3 6 .5 6 .6x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?
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