線性方程組的迭代解法消去法-資料下載頁(yè)
2024-08-01 10:31本頁(yè)面
【正文】 111kknkk mmL???????????????( k = 1, …, n1) 矩陣的三角分解 記： ，則 1 1 1 ( )12 , nkL L L L U A? ? ???A L U?其中： L 單位下三角矩陣 ， U 上三角矩陣 LU 分解 (杜利脫爾 Doolittle分解 ) 直接利用矩陣乘法來計(jì)算 LU分解 1 1 1 2 1 1 1 1 2 121 2 2 2 2 1 2 2 21 , 1 121 11nnn n n n n n n n nu u u a a al u u a a all u a a a??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???L U A? ??比較等式兩邊的 第一行 得： u1j = a1j 比較等式兩邊的 第一列 得： 111 1iil au??比較等式兩邊的 第二行 得： 22 2 1 1jjju a l u??比較等式兩邊的 第二列 得： ? ?122 2 1 2 2ii ia l ul u??( j = 1,…, n ) ( i = 2,…, n ) ( j = 2,…, n ) ( i = 3,…, n ) U 的第一行 L 的第一列 U 的第二行 L 的第二列 直接利用矩陣乘法來計(jì)算 LU分解 第 k 步： 此時(shí) U 的前 k1 行和 L 的前 k1 列已經(jīng)求出 比較等式兩邊的 第 k 行 得： 比較等式兩邊的 第 k 列 得： 直到第 n 步，便可求出矩陣 L 和 U 的所有元素。 ? ?11,11 1 , 1kk j k s s jsk j k j k k kj jk a l u l uu a l u????? ? ? ? ? ? ?( j = k, …, n ) ? ? 111 1 , 1 1 ,iiki k i k i k k i s s k k kkk ki ksa l u l u ul a l u u?????? ?????? ? ? ? ? ?( i = k+1, …, n ) 例題 1 0,)( ??? ? ijnnij lijlLL 時(shí)當(dāng)為下三角陣，設(shè)的求解公式試導(dǎo)出方程組 bLx ?解 nilxlbx iiijjijii ,2,1,/)(11???? ???例題 2 0,)( ??? ? ijnnij ujiuUU 時(shí)當(dāng)為下三角陣，設(shè)的求解公式試導(dǎo)出方程組 bUx ?解 niuxubx iinijjijii ,2,1,/)(1???? ???例題 3 LUAD o o l i t t l eA ?? ? 分解的試考察四階方陣 44ij )a(列出分解公式階方陣并針對(duì) An解 ???????????????????????????????????????????44343324232214131211434241323121444342413433323124232221141312111111uuuuuuuuuullllllaaaaaaaaaaaaaaaa例題 4 試給出方程組分解的基于矩陣 ,LUAD o o l i t t l eA ?的求解公式bAx ?解 niylbyijjijii ,2,1,11???? ???yUxbLybAx ??? 與化歸為兩個(gè)三角方程組niuxuyx iinijjijii ,2,1,/)(1???? ???追 趕 追趕法 1111222 2 21 1 1 1 1 .iii i in n n n nnn nnxdbcxda b cxd Ax da b ca b c x dab xd? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ?在數(shù)值計(jì)算中，如三次樣條插值或用差分方法解常微分方程邊值問題，常常會(huì)遇到求解以下形式的方程組簡(jiǎn)記 此系數(shù)矩陣的 非零元素集中分布在主對(duì)角線及其相鄰兩次對(duì)角線上，稱為三對(duì)角矩陣。方程組稱為三對(duì)角方程組。追趕法 11112 2 231 0 0( 2 , 3 , , 1 )01111( 1 , 2 , , 1 )i i i i innnnnibcb a c a c i nbaucl u cA L U lcluc i n?? ? ??? ? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???定理：設(shè)三對(duì)角方程組系數(shù)矩陣滿足下列條件：則它可分解為其中 為已給出的，且分解是唯一的追趕法 11111111 , , ( 2 , 3 , , ) 0 ( 1 2 , , ) / ( 2 , 3 , , )i i ii i i iii i ii i i iAbua l u i mb c l uu i mubl a u i mu b c l??????????????????????????將上式右端按乘法規(guī)則展開并與 進(jìn)行比較得如果 ， ，則由上式可得追趕法 11111111 / ( 2 , 3 , , ) ( 2 , 3 , , )/: ( ) / ( 1 , 2 , , 1 ) ,i i ii i i ik k k kn n nk k k k kubA L U l a u i mu b c lydL y dy d l y k nx y uU x yx y c x u k n nG ause???????? ? ??????????? ? ??????? ? ? ? ??分解公式：解 得：再解 得追趕法的基本思想與 消去法及三角分解法相同只是由于系數(shù)中出現(xiàn)了大 ,量的零可使計(jì)算公式簡(jiǎn)化減少了計(jì)算量?？勺C當(dāng)系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)時(shí)此方法具有良好的數(shù)值穩(wěn)定
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