【正文】 nnnppp x R x x R xppppppx R xpA B x A x B xABxxA x B xABx? ? ? ???? ?? ? ??? ? ?3 . , ,nn p p pA B R A B A B?? ? ? ? ?,0m a x,npp x R xppnnp p p ppAxAxAxx R A x R Ax A xx????? ? ? ? ? ? ?4 . , ,n n n p p px R A R A x A x?? ? ? ? ?? ? ? ?, 0 , 0m a x m a xnn ppp x R x x R xppAB x A BxABxx? ? ? ???5 . , ,nn p p pA B R A B A B?? ? ?? ?4 pppA B x A B x??, 0 , 0m a x m a xnnp p pp p p px R x x R xppA Bx BxAB A A Bxx? ? ? ?? ? ? ?西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) 常用的矩陣算子范數(shù) ,0m a x nx R xAxAx?? ????11 ,01m a x nx R x AxA x???22 ,02m a x nx R x AxA x???行范數(shù) , p=1 列范數(shù) , p=2 2范數(shù) , p=3 11m a xni n i jja???? ?11m a xnj n i jia???? ?? ?m a x tAA??check ?x?Rn,?A?Rnn 西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) check ,01 . m a x nx R xAxAx?? ???? 11m a xni n i jja???? ? 110 , m a xnni n i jjAxx R ax?????? ? ? ? ?In case A=0, the equation holds obviously, so we only need to check for the case A?0. ?y, . 11m a xni n i jjAy ay?????? ?西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) ? ?11111 1 11111m a x m a xm a x m a x m a x0 , m a xnni n ij j i n ij jjjnni n j n j ij i n ijjjnni n ijjAx a x a xx a x aAxx R ax? ? ? ????? ? ? ? ? ?????????????? ? ? ? ?????? 110 , m a xnni n i jjAxx R ax?????? ? ? ? ?? ?12, , .. ., 0 ,Tnx x x x? ? ?? ? 0,ijAa? ? ?1111njjjnij jjnn j jjaxaxAxax?????????????????????????????????西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) ? ? ? ?012, , . . . , , s g n , 1 , 2 , . . . , 。 1Tn j i jy y y y y a j n y ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?000 0 0 0001 1 11 1 11 1 11 1 1sgn sgn. . .sgn. . .sgn sgnn n nj j j i j j i jj j jn n ni j j i j i j i jj j jn n nnj j nj i j nj i jj j ja y a a a aa y a a aAya y a a a a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0111 1 1m a x m a xn n ni n ij j i j i n ijj j jAy a y a a? ? ? ??? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?y, . 11m a xni n i jjAy ay?????? ?01 11m a xnni n i j i jjjaa???????suppose 西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) ,0m a x nx R xAxAx?? ???? 11m a xni n i jja???? ?Similarly, we can prove the result in 2 110 , m a x nn i n i jjAxx R ax? ????? ? ? ? ? ?y, . 11m a x ni n i jjAy ay? ????? ?西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) 22 ,023 . m a x nx R x AxA x??? ? ?m a x tAA?? ? ?2m a x20, ntAxx R A Ax ?? ? ? ?In case A=0, the equation holds obviously, so we only need to check for the case A?0. ?y, . ? ?2m a x2tAy AAy ??西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) ? ? ? ?22, 0 ,n t t tx R A x A x A x x A A x A A? ? ? ? ? ?Symmetric and positive definite, So characteristic values of AtA are all nonnegative real numbers: 12 0n? ? ?? ? ? ?Let the corresponding characteristic vectors are 12, , , n? ? ?? ?,i j ij? ? ??10,nniiix R x c ??? ? ? ? ? ? ?2m a x20, ntAxx R A Ax ?? ? ? ?西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) ? ?? ?? ?? ?? ?211222111 1 1 121 1 1221112211,,nntt i i j jijnni i j jijn n n nti i j j i i i j ji j i jn n ni j i j ii j inni i iiinniiiiA A c cA Ax xAxxxxccc A A c c cc c ccccc????? ? ? ? ?????????? ? ? ?? ? ?????????????????????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?????? ? ? ?? ? ?????1?? ?2 m a x20, ntAxx R A Ax ?? ? ? ? ?西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) ? ?21 m a x2tAyy A Ay??? ? ? ?y, . ? ?2m a x2tAy AAy ??西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) 例 2130A????????3 33 A ???? ? ?????? ? 15 1 5A??21 3 2 7 2 1 0 7 2 1 021tA A A????? ? ? ? ? ? ??????西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) Def 6 矩陣的譜半徑 ? ? ? ?1m a x i n i AA????譜半徑的性質(zhì) ? ?AA? ?1. 矩陣 A的譜半徑不超過它的任何一種算子范數(shù)，包括 F范數(shù) x x A x A x A? ? ?? ? ? ? ?Let ? be any eigenalue of A, x the corresponding characteristic eigenvector, 西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) ? ? 22. tA A A A?? ? ?Let λi be any eigenvalue of A, ui the corresponding eigenvector 2t i i i i i i i iA Au AA u A u Au u? ? ?? ? ? ?So is an eigenvalue of AtA, ui the corresponding eigenvector 2i?? ? ? ? ? ?? ?? ?2 22 2m a x 1 122m a x m a xt i n i i n iA A A AAA? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) Th1 ? ? ? ? 1 11 d e t 0 , 1B I B I B B?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?de t 0 0 , . . 01I B x s t I B xBxB x xx? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?Suppose det(I177。 B)=0, then 1B ?Contradict to ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 11 1 11 11I B I B I I B I B I BI B I B I B I B I BIBB? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) perturbation 11222 3 8 12 3 . 0 0 0 0 1 8 . 0 0 0 0 2 2xx? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?11222 3 8 8 . 52 2 . 9 9 9 9 9 8 . 0 0 0 0 3 3xx? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?perturbation It’s funny that such small perturbations in the coefficients lead to so big change in the solution! That’s right! it’s due to the nature of A and Such a system is said to be illposed. Error analysis 西安電子科技大學理學院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) 由實際問題建立起來的線性方程組 Ax=b本身存在模型誤差和觀測誤差，或者是由計算得到的，存在舍入誤差等?？傊?， A,b都會有一定擾動 ?A ,?b, 因此實際處理的是 A+?A或