【正文】 ,))((.11111,))((,1ILLelelIelIelILLjillelILIelIelIjiTjjTiiTjjTiijinkkkTkkkTkkTkk????????????????????????????????????????? 第三章 167。 1 P60 它是一個(gè)單位下三角陣。 ??????????????????????????????????????????????11111111)2(1,1)2(1,)1(22)1(2111)1(22)1(32113111211,21323121nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaallllll?????????? ????11121 )2(. . .niin InLLLLL 第三章 167。 1 P60~P61 記 ，據(jù)（ ）和（ ）式有 因此 這樣，我們把矩陣 A分解成一個(gè)單位下三角陣和一個(gè)上三角陣的乘積。 為了使基本 Gauss消去法（不作行交換）能進(jìn)行到底，我們假定了主元 全不為零。自然，我們要問(wèn)在什么情形下這些主元全不零？ 都是非奇異，此處 。 證明 對(duì) k用歸納法證明。當(dāng) 時(shí)， ，定理結(jié)論顯然成立。 假設(shè)定理直到 成立，即 全不為零的充分必要條件是 順序主子矩陣 都非奇異。因此，無(wú)論是假定 全不為零或是 都非奇異， Gauss消去法的消元過(guò)程總可進(jìn)行 k— 1步，據(jù) ()式 )(.,121111211)1(LUULLLAUALLLUAnnn????????????? ?nkaaaaaaaaaAaaaaAaAaaannnnnnkkkk???????????????????????????????212222111211222112112111)1()1(2211,...,? ?1111 aAk ??)2( 1,1)1(2211 ,1 ? ??? k kkaaak ?121 , ?kAAA ?121)2( 1,1)1(2211 ,, ?? ?? kk kk AAAaaa ?? 第三章 167。 1 P61 ? ?.1112111ALLLAkkk ??????? ? 由于? ?1?kA的k階順序子矩陣)1( ?KkA是以)1()2(1,1)1(2211,????kkkkkkaaaa ?為主對(duì)角元的上三角陣，并且易知 ? ?,)()()(1112111kkkkkkkkALLLA??????? 其中 kiL )(1?表示1?iL的 k階順序主子矩陣，.1,1 ?? ki ?從而 ,d etd et)d et ()d et (d et1111)1(kkkkkkkAALLA ??????? 因此 ,de t)1()2(1,1)1(2211?????kkkkkkkaaaaA ? （ ） 故)1()2(1,1)1(2211,????kkkkkkaaaa ?全不為零的充分必要條件是kkAAAA ,121 ?? 都非奇異。 第三章 167。 1 P61 下 我們用 rsI表示單位陣 I 的第 r 行（列）與第 s 行（列）交換得到的矩陣，通常稱為初等排列陣。初等排列陣 rsI具有下列簡(jiǎn)單性質(zhì)： （ 1 ） rsI= srI； （ 2 ）用 rsI左乘矩陣 A ，就是交換 A 的第 r 行與第 s 行，而用 rsI右乘 A 就是交換 A 的第 r 列與第 s 列； （ 3 ）。,1IIIIIIsrrsrsrsTrs???? （ 4 ）.1d e t ??rsI 現(xiàn)在，我們可以將 G au s s 列主元消去法的消元過(guò)程敘述如下。 第一步，假設(shè)選取)1(11,1?iai為主元．類似于（ 1. 21 ），我們得到 .1,111,11 11 bILAxIL ii ?? ? 第三章 167。 1 P62 左乘方程（ ）的兩端，其中 ??????????,. .. ,2,1,/,1)1()1(nikiaakimkkkkikik )1( ?Kija是)1( ?kA的),( ji元素。從而，方程組（ ）化為 )()( kkbxA ?， 其中 )1()()1()(,????kkkkkkbMbAMA， 最后，進(jìn)行了 n 步消元得到 )( nbDx ?， （ 1. 32 ） 其中 ),()1()1(221111????nnnnnaaad i a gAMMMD ??。 假如消元過(guò)程的每一步都作主行元素除以主元的運(yùn)算，那么消元過(guò)程的第 k 步， kM中 的 元素),1( nimik??為 ??????????.,/,1)1()1()1(kiaakiamkkkkikkkkik 第三章 167。 1 P61~P62 第二步，若選)2(2)1(2,2?iai為主元，我們有 .1,112,121,112,121212bILILAxILILiiii????? 進(jìn)行 n 一 1 步消元后，原方程組 A x = b 便化為一個(gè)上三角形方程組 .1,111,111,112,121,1111121bILILAxILILILininininninnnn??????????????? ?? ( 9) 類似于 G au ss 消去法的討論，假定 Ga u ss Jo rd a n 消去法按自然順序選主元，且進(jìn)行 k 1 步后方程組已化為 .)1()1( ???kkbxA （ 1. 30 ） 第 k 步 則是用矩陣 ?????????????????????????1111,1,11nkkkkkkkkkmmmmmM???? () 第三章 167。 1 P62 ~P63 消元過(guò)程完成時(shí)，我們得到 IAMMMnn?? 11?。 （ 1. 33 ） 原方程組bAx ?則化為 bMMMbxnnn11)(????。 （ 1 .3 4 ） 它便是方程組bAx ?的解。 再假設(shè) G au ss Jo rd a n 消去法按列選主元，第 k 步的主元為)1(,?kkika，并且每一步都作主行元素除以主元的運(yùn)算。消元過(guò)程完成時(shí)，便將方程組bAx ?化為 bIMIMAxIMMIMinininininnnn1,1,1,11,111?? ???。 （ 1. 3 5 ） 現(xiàn)在 IAIMIMIMininninnn????1,11,1,11?。 （ 1 .3 6 ） 因此 bIMIMIMxininninnn1,11,1,11?????。 167。 2 直接三角分解法 矩陣三角分解法 Court 方法 Cholesky 分解 分解 對(duì)稱正定帶狀矩陣的對(duì)稱分解 解三對(duì)角線性方程組的三對(duì)角算法（追趕法） TLDL167。 2 直接三角分解法 P63 矩陣三角分解法 167。 2 直接三角分解法 在167。 中我們已經(jīng)知道，在 n 階矩陣 A 的順序主子矩陣)1,2,1( ?? nkAk?均非奇異的假定下， Ga us s 消去法的消元過(guò)程能進(jìn)行到底。這樣，還可以把矩陣 A 分解成 LUA ?， 其中 L 是一個(gè)單位下三角陣， U 是一個(gè)上三角陣。 定義 若方陣 A 可以分解成一個(gè)下三角陣 L 和一個(gè)上三角陣 U 的乘積，即 LUA ? （ 2 .1 ） 則這種分解稱為方陣 A 的一種 三角分解 。或 LU 分解 。特別，若 L 為單位下三 角陣時(shí)，則稱它為 Do oI i tt le 分解 ；若 U為單位上三角陣時(shí)，則稱它為 Crout 分解 。 第三章 167。 2 P63 據(jù)167。 1 定理知，若 n 階方陣 A 的順序主子矩陣 121,?nAAA ?均非奇異，則 Gauss 消去法的消元過(guò)程可以作出 A 的 D o o l i ttle 分解 LUA ?。但對(duì)任一非異對(duì)角陣 D ，我們有 39。39。))((1ULUDLDA ???， 這也是 A 的一種三角分解。這說(shuō)明矩陣的三角分解并不唯一。為了討論矩陣 A 的三角分解的唯一性問(wèn)題，我們將 A 分解成 L D RA ?, （ 2. 2 ） 其中， L 、 R 分別為單位下、上三角陣， D 為一個(gè)對(duì)角陣。這種分解稱為矩陣 A 的一種 LDR 分解 。 定理 1 階矩陣 A 有唯一的 LD R 的充分必要條件是 A 的順序主子矩陣 A ；， A 。，?， An － l 均非奇異． 第三章 167。 2 P63 ~P64 證明 充分性 設(shè)121,?nAAA ?均非奇異，則由 Ga us s 消去法的消元過(guò)程可實(shí)現(xiàn)一個(gè) Do ol it t l e 分解：LUA ?, 上三角陣 U 的主對(duì)角為)2(1,1)1(2211,???nnnaaa ?和)1( ?nnna且)2(1,1)1(2211,???nnnaaa ?都不為零。若 A 非奇異，則由 0d e td e td e t ??? ULA 知0)1(??nnna。于是，令 ),()1()1(2211??nnnaaad i a gD ?, 則 D 非奇異，且 L D RUL D DLUA ???? 1, () 其中UDR1??為單位上三角陣。故 ( 2. 3 ) 式是一個(gè) LD R 分解。若 A奇異，則0)1