【正文】 a?bAx?? ? ? ? .,..., 1,1,1 Tnnnnnij aabaA ??? ?? 第三章 167。 ki0, ?kikakik ? .。 ,m ax, . . . ,)1()1(,)1()1(1,)1(????????? kkjnjkkjkkknkkkkkkaaaaak)1(,?kjkkakj,m a x )1(,)1( , ???? ? kijnjikk ji aa kk)1( ,?kjikka kikj167。 ?????????????????????????????????????????14108 3 1038134108101 2 10109101644321444444xxx4 10.8 1 23 08 1 25 0201038101091016 4444??????????????? 第三章 167。 1 P52 下 step 4 若 ，則輸出（ ‘ A is singular’）；停機(jī)。 例 3 應(yīng)用 Gauss按比例列主元消去法解方程組 開始，我們計(jì)算得 由于 因此 ,第二行為主行 ,即 為第一步消元的主元 .交換 與 得 ， 。這樣，最后的 指示原始增廣矩陣在第一步被選為主行的 行， 指示第二步被選為主行的行，等等。 輸出 方程組的解 或系數(shù)矩陣奇異的信息。 1 P55 step 6 對 i=k+1 ,…, n 做 step 78 。我們把 修改為 ，并且計(jì)算得乘子 最后的矩陣是 現(xiàn)在，我們計(jì)算修改的向量 b。 類似于公式 ()的推導(dǎo)，容易導(dǎo)出 GaussJordan消去法（按列選主元） 的計(jì)算公式。 step 5 step 6 對 step 7 對 step 8 輸出 ； 停機(jī)。 1 Gauss 消去法的矩陣表示形式 P58 Gauss 消去法的矩陣表示形式 應(yīng)用基本 Gauss消去法（假設(shè)沒有進(jìn)行行交換）解線性方程組（ ）或 （ ），消元過程的第一步得到 即有 （ ） 其中 第二步得到 即有 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?,., . . . ,2,111,111211121112)1()1(12)2()2(111112111111111)1()1(bLLAxLLbALLbALbAniaalllLbLAxLbALbAiin??????????????????????????????????? 第三章 167。 1 P60 它是一個(gè)單位下三角陣。因此，無論是假定 全不為零或是 都非奇異， Gauss消去法的消元過程總可進(jìn)行 k— 1步，據(jù) ()式 )(.,121111211)1(LUULLLAUALLLUAnnn????????????? ?nkaaaaaaaaaAaaaaAaAaaannnnnnkkkk???????????????????????????????212222111211222112112111)1()1(2211,...,? ?1111 aAk ??)2( 1,1)1(2211 ,1 ? ??? k kkaaak ?121 , ?kAAA ?121)2( 1,1)1(2211 , ?? ?? kk kk AAAaaa ?? 第三章 167。從而，方程組（ ）化為 )()( kkbxA ?， 其中 )1()()1()(,????kkkkkkbMbAMA， 最后，進(jìn)行了 n 步消元得到 )( nbDx ?， （ 1. 32 ） 其中 ),()1()1(221111????nnnnnaaad i a gAMMMD ??。 （ 1. 3 5 ） 現(xiàn)在 IAIMIMIMininninnn????1,11,1,11?。 定義 若方陣 A 可以分解成一個(gè)下三角陣 L 和一個(gè)上三角陣 U 的乘積，即 LUA ? （ 2 .1 ） 則這種分解稱為方陣 A 的一種 三角分解 。))((1ULUDLDA ???， 這也是 A 的一種三角分解。于是，令 ),()1()1(2211??nnnaaad i a gD ?, 則 D 非奇異，且 L D RUL D DLUA ???? 1, () 其中UDR1??為單位上三角陣。 定理 1 階矩陣 A 有唯一的 LD R 的充分必要條件是 A 的順序主子矩陣 A ；， A 。 2 P63 據(jù)167。 2 直接三角分解法 P63 矩陣三角分解法 167。 （ 1. 33 ） 原方程組bAx ?則化為 bMMMbxnnn11)(????。初等排列陣 rsI具有下列簡單性質(zhì)： （ 1 ） rsI= srI； （ 2 ）用 rsI左乘矩陣 A ，就是交換 A 的第 r 行與第 s 行，而用 rsI右乘 A 就是交換 A 的第 r 列與第 s 列； （ 3 ）。自然，我們要問在什么情形下這些主元全不零？ 都是非奇異，此處 。 矩陣 稱為 Gauss變換矩陣 或 消元矩陣 。 由回代過程得到方程（ ）的解 X 的元素 的計(jì)算公式為 注意 ,逐步計(jì)算得 存放到 的位置上， 存放到 的位置上，最后 的解 還可存放到 的位置上。 step 1 對 k=1,2,… ,n 做 step 24。 ,2117114~~1313,333 ????ababxpp.1304203~1,22,33,11111 ?????????ppppaxaxabx,2117114~~1313,333 ????ababxpp167。 1 P55~P56 開始，向量 。m a x1 ijnji as ???.m a x ,iirrpkpnikpkpsasa???0?is。由于在消 元過程中我們保存了元素 ，因此可在消元結(jié)束后對方程組的右端向量 進(jìn) 行變換。 1 P54 計(jì)算乘子 經(jīng)第二步消元后，增廣矩陣化為 最后，由回代過程計(jì)算得 ,21171114.11141171113184322323043.111.213231843223230438432232213231304332232323232??????????????????????????????????????? ???????????????????xaalarr 第三章 167。rk ss ?.qsr ?。 step 1 對 i=1,2,… ,n 若 ，則輸出（ ‘ A is singular’ ）；停機(jī)。這個(gè)例子說明 ,Gauss 列主元消去法也會(huì)使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大的誤差。 應(yīng)用 Gauss列或行主元消去法解一個(gè)線性方程組時(shí)，在消元過程中選取主 元后作行或列交換不會(huì)改變前面各步消為零的元素的分布狀況。 step 4 若 ,則 （交換增廣矩陣的第 行與第 k 行） step 5 對 i＝ k＋ 1， … ， n 做 step 67。經(jīng)過這樣修改過的 Gauss消去法 ,稱為 Gauss列主元消去法 。 1 P49~P50 第二步（最后一步），計(jì)算得乘子 增廣矩陣變成 由回代過程，我們得到計(jì)算解： 方程組（ ）的準(zhǔn)確解是 .3,1,1.8 5 9 ,7 5 0 0 ,9 9 9 9 .2 1 3 2 62 1 3 2 7001 2 2 0 381916.2 6 2 50 0 12312332???????????????????????xxxxxxl因此，我們得到的計(jì)算解 的相對誤差為 ,但 和 的相對誤差較大，它們分別為 0． 25 和 0． 0469. 為了減小計(jì)算過程舍入誤差的影響，我們在第二步開始時(shí)，交換增廣矩陣（ 1． 14）的第 2行與第 3行，得到 53 1059 9 9 9 ????x ?2x?1x 第三章 167。 1 P48 下 ()式是消元過程的一般計(jì)算公式 .式中作分母的元素 稱為 (第 k 步的 )主元素 (簡稱 主元 ).若 則 中至少有一 個(gè)元素，比方說 不為零 (否則 ,方程組 ()的系數(shù)矩陣 A奇異 ).這樣 , 我們可取 作為主元 .然后 ,交換矩陣 的第 k行與第 r行 ,把它交換到 (k,k)的位置上 . 稱為 乘子 . )1( ?kkka,0)1( ??kkka )1()1( ,1 , . . . , ??? knkk kk aa,)1( ?krka,)1( ?krka ? ?)1()1( , ?? kk bA),..,1( nkilik ?? 進(jìn)行 n— 1步消元后，我們便得到一個(gè)上梯形矩陣 ? ? )(,...........................,)1()1()1()1()1(1,)1()1(2)1(2)1(1,2