[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第六章解線性方程組的迭代法-資料下載頁
2025-01-19 16:41本頁面
【正文】 0, ittkt ntktIE ???????????? ?41 顯然有， ,0, IEt ?由于 , 1,tii EIJ ?? ?ktiki EIJ )( 1,?? ?),(0, tkE kt ?? 當(dāng) .)( ,1, ktkt EE ?因此 ???? kjjtjkijk EC01, )(? ????? 10,tjjtjkijk EC ?ttkikiktkitkkikkitkitkkikkikkiCCCCCC?????????????????????????????????????11)2(211)1(12211??????),2,1( ri ??42 其中 )!(!!jkjkC jk ??利用極限 ， )0,10(0lim ?????? rcck krk.10lim ?????? ?? jkjkk C所以 的充要條件是 ， 0lim ??? kik J ),2,1(1 rii ????.1)( ?B?.! )1()1( j jkkk ???? ?得到 即 43 定理 4 ,fBxx ??（ ） (迭代法基本定理 ) 設(shè)有方程組 及一階定常迭代法 .)()1( fBxx kk ???（ ） 對任意選取初始向量 ， )0(x矩陣 的譜半徑 B .1)( ?B?迭代法 ()收斂的充要條件是 證明 設(shè) ， 1)( ?B?易知 fAx ? )有唯一解， BIA ?? 記為 ， *x充分性 . (其中 ,** fBxx ??44 誤差向量 *)()( xx kk ???由設(shè) ， 1)( ?B?.0lim ??? kk B,)0(?kB? .*)0()0( xx ???應(yīng)用定理 3，有 于是對任意 , )0(x 有 ， 0lim ??? kk ? 必要性 . 設(shè)對任意 有 )0(x*,lim )( xx kk ???其中 .)()1( fBxx kk ???.*lim )( xx kk ???即 顯然，極限 是方程組 ()的解， *x 且對任意 )0(x*)()( xx kk ??? ).(0)0( ???? kB k ?45 由定理 2知 ,0lim ??? kk B再由定理 3，即得 .1)( ?B? 推論 設(shè) ， bAx ? 其中 為非奇異矩陣 ULDA ???且 非奇異，則 D (1) 解方程組的雅可比迭代法收斂的充要條件是 ， 1)( ?J?).(1 ULDJ ?? ?其中 (2) 解方程組的高斯 塞德爾迭代法收斂的充要條件是 ,1)( ?G? .)( 1 ULDG ???其中 (3) 解方程組的 SOR方法收斂的充要條件是 ， 1)( ??? L).)1(()( 1 UDLDL ???? ? ???其中 46 例 5 迭代矩陣 的特征方程為 J,)d e t ( 3 ????? ??? JI解得 考察用雅可比方法解方程組 （ ） 的收斂性 . ??????????????.361236,33114,20238321321321xxxxxxxxx （ ） , ??? , ???, ??? ,1, 132 ???? ???即 . 1)( ?J? 所以用雅可比迭代法解方程組 ()是收斂的 . 47 例 6 fBxx kk ??? )()1(的收斂性， 解 考察用迭代法解方程組 .55,03 20 ?????????????????? fB其中 ,06)d e t ( 2 ???? ?? BI特征方程為 特征根 ,62,1 ???即 . 1)( ?J? 這說明用迭代法解此方程組不收斂 . 48 定理 5 ,R, nnBfBxx ????及一階定常迭代法 .)()1( fBxx kk ???如果有 的某種算子范數(shù) ， B1?? qB (1) 迭代法收斂， 即對任取 )0(x.***lim fBxxxx kk ????? 且.**)2( )0()( xxqxx kk ???(迭代法收斂的充分條件 ) 設(shè)有方程組 則 .1*)3( )1()()( ????? kkk xxqqxx49 .1*)4( )0()1()( xxqqxxkk ???? 證明 (2) 由關(guān)系式 及 )*(* )()1( kk xxBxx ??? ?).( )1()()()1( ?? ??? kkkk xxBxx.**( b ) )()1( kk xxqxx ??? ?反復(fù)利用 (b)即得 (2). (1) 由基本定理 4結(jié)論 (1)是顯然的 . 有 。( a ) )1()()()1( ?? ??? kkkk xxqxx50 (3) 考查 )*(* )1()()()1( ?? ????? kkkk xxxxxx即 (4) 反復(fù)利用 (a), 則得到 (4). )()1()(11* kkk xxqxx ?????)*(* )1()( ????? kk xxxx,*)1( )( kxxq ???.1 )1()( ???? kk xxq
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