[理學(xué)]線性代數(shù)與解析幾何第五章線性方程組-資料下載頁
2024-10-16 21:32本頁面
【正文】 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?是 的解 ,且滿足 ?A X =設(shè) A是 4階方陣 , (≠ 0)是 4 1矩陣 , ?試求方程組 的通解 . ?A X =例 4 47 解 1211 2()024? ? ??????? ? ? ??????1 1 2 2 3011 2( ) ( 2 )1233? ? ? ?????? ? ? ? ? ???????ξ2 1 2 3 4272( ) ( 3 )015? ? ? ?????? ? ? ? ? ??????ξ先求 的一個(gè)特解 ?A X =再求 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 A X = 048 124 ( ) 2 , ,R?? A ξ ξ 且 線性無關(guān) ,所以 12,ξ ξ的一個(gè)基礎(chǔ)解系 . A X = 0故 原方程組 的通解 為 ?A X =1 1 2 2kk?? ? ? ?X ξ ξ?12,kk為任意常數(shù) . 121 0 22 2 70 1 04 3 15kk? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?49 例 5 判斷下列命題是否正確 (1)若 AX=0只有零解 ,則 AX=b有 唯一解 . 答 :錯(cuò) , 因 r(A)=n, r(A)= n = r(A b)? (2)若 AX=0有非零解 ,則 AX=b有無窮多解 . 答 :錯(cuò) , 因 r(A)n, r(A)= r(A b) ? (3)若 AX=b唯一解 ,則 AX=0只有零解 . 答 :對(duì) , r(A)= r(A b) =n. 50 (5)若 r(A)=r =m,則 AX=b必 有解 . 答 :對(duì) ,r(A)=r =m= r(A b) . (6)若 r(A)=r =n, 則 AX=b必 有唯一解 . 答 :錯(cuò) ,A為 m?n,當(dāng) m?n時(shí) , 可以 r(A b) =n+1. (4)若 AX=0有非零解 ,則 ATX=0也有 非零 解 . 答 :錯(cuò) ,A為 m?n, r(A)=m n, r(AT)=m, 這時(shí) ATX=0只有零解 . 例如 A為 3?4, R(A)=3 4, r(AT)=3=m. 51 方程組的幾何應(yīng)用 52 矩陣的秩及方程組的理論可以用來討論幾何空間中的平面、直線的位置關(guān)系 . ? r(A)≠ r(A b)時(shí) ,兩平面 平行 但不重合 ? r(A)=r(A b)=1時(shí) ,兩平面 重合 ? r(A)=r(A b)=2時(shí) ,兩平面 相交 于一條直線 () 1 1 1 12 2 2 2A B C DA B C D???????Ab1. 兩個(gè)平面的位置關(guān)系 ,i i iA B C不全為 0 ?::1 1 1 1 12 2 2 2 2A x B y C z DA x B y C z D????????53 此時(shí)方程組有無窮多解 ,有一個(gè)自由未知量 ,可求出通解為： *0,00x mt y t npz??? ???? ??? ? ? ??? ??????X ξ即 t為任 意常數(shù) . :,000x x m tl y y n tz z p t???????? ? ??xyz?????????為直線的參數(shù)方程 . 注 特解代表交線上的一個(gè)點(diǎn) ,導(dǎo)出組的 基礎(chǔ)解系代表交線的方向向量 . 54 2. 三個(gè)平面的位置關(guān)系 :::1 1 1 1 12 2 2 2 23 3 3 3 3A x B y C z DA x B y C z DA x B y C z D?????????????????)() ( ( ) 11 ??r A r A b()( )) ( 22 ??r A r A b三平面重合 ,方程組 有無窮多解 . 三平面交于一條直線 , 方程組有無窮多解 . ,i i iA B C不全為 0 55 ()( )) ( 33 ??r A r A b三平面交于一點(diǎn) , 方程組有唯一解 . ( ) , )) (( 124 ??r A r A b三平面平行 , 方程組無解 . 56 ( ) , )) (( 235 ??r A r A b三個(gè)法向量共面 ,方程組無解 . ? ?, , 0?n n n1 2 3?1?2?3三個(gè)法向量 中任意兩個(gè)不成比例 . 三個(gè)法向量 中有兩 個(gè)無關(guān) ,兩個(gè)成比例 . 交成 2或 3條平行直線 57 M1M2 , M1M3 , M1M4 共面 向量 ? ?= 0 M1M2 , M1M3 , M1M4 Mi (xi, yi , zi ) (i=1,2,3,4)共面 0x x y y z zx x y y z zx x y y z z? ? ?? ? ? ?? ? ?2 1 2 1 2 13 1 3 1 3 14 1 4 1 4 10x y zx y zx y zx y z?1 1 12 2 23 3 34 4 4111158 Mi(xi , yi) (i=1,2,3) 共線 M1M2 , M1M3 向量 共線 x x y yx x y y?????2 1 2 13 1 3 10xyxyxy?112233111例 P148 17題 59 復(fù)習(xí)第 5章 (^^) Bye!
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