高等代數(shù)北大版教案-第3章線性方程組-資料下載頁
2025-04-17 13:05本頁面
【正文】 它的解構(gòu)成的集合具有下面兩個(gè)重要性質(zhì)：1．兩個(gè)解的和還是方程組的解.2．一個(gè)解的倍數(shù)還是方程組的解.綜上，解的線性組合還是方程組的解.定義17 齊次線性方程組（1）的一組解稱為（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，如果1）（1）的任何一個(gè)解都可以表示為的線性組合.2）線性無關(guān).定義7 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且它所含解的個(gè)數(shù)就等于，這里表示系數(shù)矩陣的秩.（以下將看到，也是自由未知量的個(gè)數(shù)）由定義容易看出，任何一個(gè)線性無關(guān)的與某一個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量組都是基礎(chǔ)解系.對于一般的線性方程組： （9）如果把常數(shù)項(xiàng)換成零，就得到齊次線性方程組（1），方程組（1）稱為方程組（9）的.方程組（9）的解與它的導(dǎo)出組（1）的解有密切的關(guān)系：1．方程組（9）的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組（1）的解.2．方程組（9）的一個(gè)解與它的導(dǎo)出組（1）的一個(gè)解之和還是這個(gè)線性方程組的一個(gè)解.由這兩點(diǎn)容易證明定理8 如果是方程組（9）的一個(gè)特解，那么方程組（9）的任一個(gè)解都可以表成 （10）中是導(dǎo)出組（1），對于方程組（9）的任一個(gè)特解，當(dāng)取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，（10）就給出（9）的全部解.推論 在方程組有解的情況下，解是唯一的充分必要條件是它的導(dǎo)出組（1）只有零解.例 用消元法解方程組.例 把向量組表示為向量組的線性組合：，,.例 證明 如果向量組線性無關(guān)，而，線性相關(guān)，則向量可以由線性表出.例 設(shè)是互不相同的數(shù)，證明： 是線性無關(guān)的.例 證明 如果向量組可以由向量組（2）線性表出，那么（1）的秩不超過（2）的秩.例 設(shè)是一組維向量，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是任一維向量都可以被它們線性表出.例 證明對任何的都有解的充分必要條件是系數(shù)行列式.例 計(jì)算矩陣的秩.３９
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