【導(dǎo)讀】第2章線性代數(shù)方程組?？梢詫憺榫仃囆问健＞仃嚽竽娴姆椒?初等行變換法、伴隨矩陣法、高。iA是以右端常量向量b替代A的第i列所得矩陣的行列式。計(jì)算量為求矩陣的行列式。1212:(,){1,2,...,}{,,...,}nnJiiiniii其中是變換到所需的。nn因此計(jì)算一個(gè)行列式需要次浮點(diǎn)運(yùn)算。n元方程組的n-1個(gè)方程通過(guò)“消元”，形成一個(gè)與原。方程組等價(jià)的新方程組。11x代入第一個(gè)方程,得到。消去法的基本思想:. 方程組進(jìn)行求解，逐次進(jìn)行直至變?yōu)橐粋€(gè)一元一次方程。為止，然后求解，再逐步回代得到其余的解。消去過(guò)程對(duì)于以下的增廣矩陣。將矩陣的第行分別減去第一行的倍數(shù)得到。經(jīng)過(guò)n-1步消去后，得到11121311. 算法Gauss系數(shù)矩陣A存放于數(shù)組A中，右端向量放在數(shù)組b中

　　

【正文】 1 1 23 3 2 22( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2 2 1 1( ) /( ) /( ) /k k k knnk k k knnk k k kn n n n nn n nnx b a x a x a x ax b a x a x a x ax b a x a x a x a? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ??迭 代 公 式 為 : 基本迭代法 ( ) ( 1 )11, 1 , 2 , ...,jnkki i ijjiijix x i n??????????? ? ??????得 到 迭 代 格 式 第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1(), 1 , , . . . ,k k k kiikix i x x xx當(dāng) 計(jì) 算 第 i 個(gè) 分 量 時(shí) 前 面 個(gè) 分 量 都 已 計(jì) 算出 來(lái) 了 可 以 使 用 它 們 來(lái) 計(jì) 算? GaussSeidel迭代 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 12 2 13 3 1 11( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )2 2 21 1 23 3 2 22( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )3 3 31 1 32 2 34 4 3 33( ) ( ) ( )1 1 2 2( ) /( ) / ( ) /(k k k knnk k k knnk k k k knnk k kn n n n nnx b a x a x a x ax b a x a x a x ax b a x a x a x a x ax b a x a x a? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 即 ()11)/kn nnxa?????????? 1( ) ( ) ( 1 )111 1 , 2 , . . . , , 1 , 2 , . . .iink k ki i j j i j jj j iiix x x i n ka ? ? ???? ? ???? ? ? ? ??????? 基本迭代法 第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 迭代法的矩陣表示 ,A x b x G x d? ? ?由 構(gòu) 造 等 價(jià) 的 方 程 組( ) ( 1 ) kkx G x d???得 到 迭 代 公 式 ( ) ( 1 )11, 1 , 2 , ...,jnkki i ijjiijix x i n??????????? ? ??????Jacobi 迭 代 法 為 0 , , ijijiiiiiiijgijd????? ????? ?? ?? ?? ??? ???顯 然 有第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 迭代法的矩陣表示 1( ) ( ) ( 1 )111iink k ki ij j ij jj j iiiG au ss Se ide lx x xa? ? ???? ? ????? ? ???????對(duì) 迭 代 法 1( 1 ) ( 1 )1 1 11 i n nkki i j j l l j i j jj l j iiig x d xa ? ? ????? ? ? ?????? ? ? ?????????? ? ?11( 1 ) ( 1 )1 1 1 111n i n ikkj l i j l i l l i i j jl j l i ji i i ig x x daa ? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11( 1 ) ( 1 )1 1 1 1111 i i n iij jl ij jlkk illll j l i jii ii iiii ij jjiia g a g axxa a ada??????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ????? ? ? ??第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 迭代法的矩陣表示 111111, 1 , 2 , ..., , 1 , ...,1( ) 1 , 2 , ...,iij jlj iiiliij jl ilj ii iiii i ij jjiigliggl i nd d i n??? ????????????? ???? ???? ??????? ? ?? ?????? ??? ? ? ??????因 此 有第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 迭代法的矩陣表示 例 .迭 代 法 示 例 演示 演示1第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 迭代法的矩陣表示 Ax b?線 性 方 程 組 中 的 A 分 解 為 三 部 分A D E F?11 22( , , ..., )nnD diag ? ? ??其 中 2131 321 , 1 1 , 2 1 , 31 2 3 , 100000n n nn n n n nE???? ? ?? ? ? ?? ? ????????????? ? ?? ? ? ??? 12 13 1 , 1 123 2 , 1 23 , 1 31,00000nnnnnnnnF? ? ? ?? ? ????????? ? ? ?????? ? ???? ??????? 第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 迭代法的矩陣表示 )D E F x b? ? ?對(duì) 于 Jacobi 迭 代 法 , 將 原 方 程 組 變 為 ( 1 1()x D E F x D b?? ? ?得 到 1 11()J ac ob iG D E F I D Ad D b?? ? ? ? ??????即 迭 代 法 ()Dx E F x b? ? ?有 第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 迭代法的矩陣表示 )D E x F x b? ? ?對(duì) GaussSeidel 迭 代 法 , 將 原 方 程 組 變 形 為 ( 1 1( ) ( )x D E F x D E b? ? ? ?得 到 11()()G au ss Se ide lG D E Fd D E b?? ????????即 迭 代 法 第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 收斂性 ( ) * ( ) *l im kkkk x x x x???? ? ????記 為 或 ? ?( ) * * ( )m a x 0kkk iix x x x ??? ????顯 然 向 量 收 斂 于 的 充 分 條 件 是* ( )l im 0kk xx ??? ??即* ( ) * ( )21l im 0 l im 0kkkkx x x x? ? ? ?? ? ? ?由 范 數(shù) 的 等 價(jià) 性 可 知 T( k )n( k )( k )( k )T*n*** ), .. ., x,x(x,x), .. ., x,x(xxn 2121維 向量設(shè) ??? ? *)()(k, . . . ,2,1, l i m xxnixxk*iki收斂于則稱向量序列若存以下關(guān)系式 ????第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 收斂性 ? ?1 )0()()1()(??? ?GxxdGxx kkk都收斂的充分條件是對(duì)于任何初值向量計(jì)算出的向量序列迭代格式定理 )(*)( kk xxe ??)()( )1(* dGxdGx k ???? ?)( )1(* ??? kxxG)1( ?? kGe)0()( eG k?)0()()( eGe kk ? )0()( eG k?0 l i m，,1 )( ?? ?? kk eG 有兩邊取極限時(shí)當(dāng)?shù)?2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 收斂性 ??? ?????nij1 i nj=1 iiji因 此 , 對(duì) Jacobi 格 式 可 知 , 取 范 數(shù) 有 G = ma x 11 , 2 , ..., 1n ijj iijiin?????? ?只 要 對(duì) 都 有 1nij iijji??????即 當(dāng) J acobi則 迭 代 必 收 斂此 時(shí) 矩 陣 為 嚴(yán) 格 對(duì) 角 占 優(yōu) 矩 陣第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 7 ,2. A x b AJ a c o b i? 若 方 程 組 的 系 數(shù) 矩 陣 是 嚴(yán) 格 對(duì) 角 占 優(yōu) 的 則 以 任 何向 量 為 初推 論始 向 量 的 迭 代 收 斂 收斂性 ? ?(),.82kA x b AG a u ss S e ide l x? 若 方 程 組 的 系 數(shù) 矩 陣 是 嚴(yán) 格 對(duì) 角 占 優(yōu) 的 則 以 任 何向 量 為 初 始 向 量 的定 理迭 代 得 到 的 向 量 序 列 收 斂 于方 程 組 的 解第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 收斂性 ,( 1 ) 。( 2 ) 2 , 。2 .9 A x b AG a u ss S e ide lD A J a c o b iDA? 若 方 程 組 的 系 數(shù) 矩 陣 是 對(duì) 稱 正 定 的 則 迭 代 收 斂 當(dāng) 仍 正 定 時(shí) 迭 代 收 斂 否 則 不 收 斂這 里 是 由 的 對(duì) 角 線 元 構(gòu)定 理成 的 對(duì) 角 陣( ) ( 1 )( 0 )2. ,(10)1kkA x b x G x dxGG??? ? ?? 解 方 程 組 的 迭 代 法 對(duì) 任 何 初 始向 量 都 收 斂 的 充 分 必 要 條 件 是 矩 陣 的 譜 半 徑 滿 足 定 理第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 算法 ? ?63)(2 11 62)(2 1 ,1 )()1()(*)0()1()(*)()1()(*kkkkkkkkxxqxxxxqqxxxqG，dGxx，bAxx???????????????及滿足向量序列則由此迭代式計(jì)算出的中若在的精確解是方程組設(shè)定理 第 2章 線性代數(shù)方程組 解線性方程組的迭代法 * ( ) ( 1 ) ( 0 )( 1 ) ( 0 ) 1, , ,.kk qx x x xqq x x k? ? ??在 下