【正文】 ijcc?ick? ijc kc?(1) (2) (3) ( 0 )k ?高斯 — 若當(dāng)消元法 無(wú)需回代過程 返回 線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 第五節(jié) 消去法的應(yīng)用 化矩陣為行階梯矩陣 初等變換法求矩陣的逆 線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 對(duì)于任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)? 行階梯形矩陣。 一 .化矩陣為 行階梯形矩陣 ： 例如： 1 1 2 1 40 2 1 1 00 0 0 5 30 0 0 0 0A????????? ???特點(diǎn)： (1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零； 1 1 2 1 40 2 1 00 0 5 30 0 0 0???(2)每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元． 什么是行階梯型矩陣？ 線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 行最簡(jiǎn)形矩陣： 在行階梯形矩陣的基礎(chǔ)上，還要求非零行的 第一個(gè)非零元為數(shù) 1，且這些 1所在的列的其他元素全都為零 。 1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 0B????????? ???例如： 注： 對(duì)于任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等 行變換 把它變 為 行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣。 線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 例 對(duì)矩陣 ?????????????????????222110100220100110111110111000A作行初等變換 ,使成為行階梯矩陣。 解 : 12rrA ?????0 1 1 1 1 10 0 0 1 1 10 1 1 0 0 10 2 2 0 0 10 1 1 2 2 2??????????????線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 434252320 1 1 1 1 10 0 0 1 1 10 0 0 0 0 1000000000000rrrrrrrr???????????? ??????31415120 1 1 1 1 10 0 0 1 1 10 0 0 1 1 20 0 0 2 2 30 0 0 1 1 1rrrrrr?????????????線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 回憶： 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換 : ? ?1 , , iji j r r?對(duì) 調(diào) 兩 行 （ 對(duì) 調(diào) 兩 行 記 作 ） ；? ?2 0 。k ?以 數(shù) 乘 以 某 一 行 的 所 有 元 素? ? 3.ijkj k ir k r?把 某 一 行 所 有 元 素 的 倍 加 到 另 一 行對(duì) 應(yīng) 的 元 素 上 去 （ 第 行 的 倍 加 到 第 行 上記 作 ）同理可定義矩陣的初等列變換 (把“ r”換成“ c”)． 二、 初等方陣 線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 定義 3：由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方 陣稱為初等矩陣 . E三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣 . 1.2 . 03.kk??????對(duì) 調(diào) 兩 行 或 兩 列 ；以 數(shù) 乘 某 行 或 某 列 ；以 數(shù) 乘 某 行 （ 列 ） 加 到 另 一 行 （ 列 ） 上 去 ．初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。 線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 初等變換 初等矩陣 初等逆變換 初等逆矩陣 例 1：計(jì)算 11 12 121 22 231 32 31 0 0( 1 ) 0 00 0 1nnna a ak a a aa a a?????????????? ??11 12 121 22 231 32 3nnna a aka ka kaa a a???????線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 11 1221 2231 3210( 2 ) 0 1 00 0 1k a aaaaa?????????????? ??11 31 12 3221 2231 32a ka a aaaaa?????????11 12 1321 22 2331 32 331 0 0( 3 ) 0 0 10 1 0b b bb b bb b b?? ?????? ????????11 13 1221 23 2231 33 32b b bb b bb b b?????????線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 定理 ： A m n AAmAAn?設(shè) 是 矩 陣 ， 對(duì) 施 行 一 次 初 等 行 變 換 ，相 當(dāng) 于 在 的 左 邊 乘 一 個(gè) 相 應(yīng) 的 階 初 等 矩 陣 ；對(duì) 施 行 一 次 初 等 列 變 換 ， 相 當(dāng) 于 在 的 右 邊乘 一 個(gè) 相 應(yīng) 的 階 初 等 矩 陣 。證明： 具體驗(yàn)證即可 A A A jki設(shè) 按 行 分 塊 ， 對(duì) 施 行 倍 加 變 換 ， 將 的 第 行倍 加 到 第 行 上 ， 即線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 另兩種情形同理可證 ( ( ))E ij k A ?11111ijmk?????????????????????????????????? ???? ??1ijjmk????????????????? ????????????1ijir krjmA???????????????? ????????????????1ijjmk????????????????????????????線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 ? ?? ?? ?? ? .A,AkikiAEkiAkiE列乘的第表示行乘的第表示? ?? ?? ?? ? .A,A列上加到第列乘的第表示行上加到第行乘的第表示jkikijAEikjAkijE? ?? ? .A,A,列對(duì)換列與第的第表示行對(duì)換行與第的第表示jijiAEjiAjiE與初等矩陣有關(guān)的乘法： 線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 11 2 3 1 2 3()P P P P P P ?求 及例 2： (1) 設(shè)初等矩陣 1 2 30 0 1 0 1 10 1 0 0 11 0 0 0 1 10 0 0 1 1 1kP P Pc? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 解： 1 2 3( 1 )0 0 1 0 1 10 1 0 0 11 0 0 0 1 10 0 0 1 1 1P P Pkc? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 1c?????????????111k????????????0 0 1 00 0 01 0 0 00 0 1kc?????????????線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 1 2 30 0 1 0 1 10 1 0 0 11 0 0 0 1 10 0 0 1 1 1kP P Pc? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 11 2 3 3 2 1()P P P P P P? ? ? ??1111k????? ??????1111c?????????0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1????????1111kc??? ???????1111kc??? ???????0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1????????線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 1212( 2 ) : ,1 0 0 0 0 1 1 2 32 1 0 0 1 0 2 3 40 0 1 1 0 0 3 4 5A P B P AP P B?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?已 知 求其 中解： 1 0 0 1 2 3 0 0 12 1 0 2 3 4 0 1 00 0 1 3 4 5 1 0 0A? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 30 1 23 4 5????? ? ?????0 0 10 1 01 0 0????????3 2 12 1 05 4 3????? ? ?????線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 三 . 用初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣 可逆矩陣可以經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣。 定理 可逆矩陣可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積 推論 1 由定理，知 ,即存在初等矩陣 ~AE 12, , , sP P P? ?21 ,sP P P A E?使得 ? ? 1 1 1 12 1 1 2ssA P P P P P P? ? ? ???又因?yàn)槌醯染仃嚳赡?，所以等?hào)兩邊左乘 ? ? 121sP P P ?初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，定理得證。 證明： 線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 定理 維矩陣 A~B的充要條件是存在 m階可逆方陣 P和 n階可逆方陣 Q，使 PAQ=B mn?進(jìn)一步有 定理 方陣可逆的充要條件是它可以表示成有限個(gè)初等方陣的乘積。 線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 等號(hào)兩邊右乘 1,A?121()sP P P E A ??? ?21 ,sP P P A E?即， ? ? ? ?1, ???? ?? AEEA ，初等行變換,1 EAA ??又 ? ?121 ,sE P P P A ??? ?21 ,sA P P P E???????????? ??????????? 1AEEA 初等列變換即， 推論 2 行變換，那么當(dāng) 變成單位矩陣 時(shí)， 就變成 。 A E E 1A?如果對(duì)可逆矩陣 和同階單位矩陣 作同樣的初等 EA線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 11 1 1 1 0 2 , .1 2 1AA ?????????????設(shè) 求解 ： 例 1 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 1 2 1 0 1?????????? ?1 1 1 1 0 01 0 2 0 1 01 2 1 0 0 1AE??????????2131rrrr?????? 132( 1 ) rrr??????線性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 1 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 2 1 1??????????1 0 0 4 3 20 1 0 3 2 10 0 1 2 1 1??????14323 2 1 .2 1 1A ??