【正文】 Y與參量（原始數(shù)據(jù)） X的關(guān)系為 Y=f(X)。 若 1）對 X?D， 數(shù)學(xué)問題的解存在且唯一； 2）滿足連續(xù)性條件，即當(dāng) ||ΔX||?0時，有 ||ΔY||?0成立； 則稱 該數(shù)學(xué)問題是適定的 ； 反之，若數(shù)學(xué)問題的解多于一個，或者解不連續(xù)依賴于原始數(shù)據(jù)，則稱為 不適定的 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學(xué)問題的適定性 72 ? “良態(tài)”問題和“病態(tài)”問題 –在適定的情況下，若對于原始數(shù)據(jù)很小的變化 ， 數(shù)學(xué)模型解的變化也很小，則稱該數(shù)學(xué)問題是 良態(tài)問題 ； –若原始數(shù)據(jù)很小的變化 ， 數(shù)學(xué)模型解的變化很大，則稱為 病態(tài)問題 ? 舍入誤差對計算結(jié)果影響小的算法稱為 穩(wěn)定的算法 ,否則稱為 不穩(wěn)定的算法 . ? 數(shù)學(xué)問題的 性態(tài) 是針對 數(shù)學(xué) 問題的；數(shù)值 穩(wěn)定性是針對 數(shù)值 方法的 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學(xué)問題的適定性 73 ? 穩(wěn)定算法和不穩(wěn)定算法 真解 參數(shù)模型精確解 (良態(tài) ) 計算模型近似解 (穩(wěn)定 ) 計算模型近似解 (不穩(wěn)定 ) 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學(xué)問題的適定性 數(shù)學(xué)模型精確解 74 ? 參數(shù)模型是病態(tài)的曲線圖 真解 參數(shù)模型精確解 (病態(tài) ) 計算模型近似解 (穩(wěn)定 ) 計算模型近似解 (不穩(wěn)定 ) 數(shù)學(xué)模型精確解 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學(xué)問題的適定性 75 ? 小結(jié) – 數(shù)值計算中除了盡量避免 誤差危害 外，還應(yīng)要分清問題是否 病態(tài) 和算法的數(shù)值 穩(wěn)定 性 ?誤差的定性分析中首先要分清問題是否病態(tài)， ? 如果問題計算結(jié)果相對誤差很大就是病態(tài)問題，對病態(tài)問題計算結(jié)果就可能不可靠， ? 對良態(tài)問題主要考慮算法的穩(wěn)定性，對不穩(wěn)定的算法計算結(jié)果也不可靠 ?計算中還要根據(jù)以前給出的原則盡量避免舍入誤差增長 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學(xué)問題的適定性 76 本章內(nèi)容 ? 167。 1 計數(shù)與數(shù)值 ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 ? 167。 4 算法舉例 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 ? 167。 6 誤差分配原則與處理方法 77 167。 6 誤差分配原則 與處理方法 78 ? – 計算模型的近似解相對于參數(shù)模型精確解的總誤差 ?=截斷誤差 R+舍入誤差 ? – 1) R?,即舍入誤差大于截斷誤差時 ,總誤差的主部取決于舍入誤差的主部 。過多位字長部分的計算工作量可提高計算精度 。 – (2) R?,即舍入誤差小于截斷誤差時 ,總誤差的主部取決于截斷誤差的主部 。此時過多位字長部分的計算工作量無意義 。 – (3) R??,此時 ,不會出現(xiàn)過多位字長和過多項部分計算量上的浪費現(xiàn)象 167。 6 誤差分配原則與處理方法 79 1. 給定運(yùn)算誤差 ? ， 確定參與運(yùn)算的數(shù)值字長 –若計算公式表示為 u=f(x1, x2 , …, xn)， 設(shè) xi的舍入誤差為 ?xi，則計算結(jié)果的舍入誤差可按下式近似計算 ,)||( 1?????? ??ni ixf?? ????? ni ixf1||解得167。 6 誤差分配原則與處理方法 假設(shè)所有的運(yùn)算量的舍入誤差相同均為 ?，則 ini ixxfdu ??????? ?? 1|| 80 例： 長方形面積 s=ab,其中 a? 5m, b? 200m， 計算 S的運(yùn)算誤差要求為 ?(s)=1m2， 試確定兩直角邊的允許誤差 解： 因為 ?= ?(s)/(a+b)=1/(5+200)? 可見數(shù)值 a、 b的字長應(yīng)取至小數(shù)后 3位。 absbasabS ??????? ,?????)(|)||(|)(||)(||)(babsasbbsaasS??????????????167。 6 誤差分配原則與處理方法 *103 81 ? 2. 近似式的項數(shù)已定而字長待定 –估算余式 Rn的大小 –令 ?= Rn , 按照 1可確定數(shù)值字長 ? 3. 總誤差 ?給定，要求確定項數(shù)和數(shù)值字長 – 應(yīng)取 ? = Rn = ?/2 ，按照 Rn的大小，確定項數(shù) –在計算公式和 ?已定情況下，按照 1可確定數(shù)值字長 167。 6 誤差分配原則與處理方法 82 0 0 ...1...2111555???????ny???nkn kS151解： 取 Rn=?/2=, ?=?/2= 設(shè)計算公式為 1 0 1 2 3 y=1/x5 ?????151nkn kR則截斷誤差估計如下 ? ? ?? n nxdx 45 4 1167。 6 誤差分配原則與處理方法 例 :求 的值，總誤差要求為 83 令 Rn ≤ ≤ 則 n應(yīng)滿足 n≥(500)1/4? 取 n=5,設(shè)計算每項數(shù)值的舍入誤差限為 ? 則 4 ? ≤?= ? ?, 取 ? ==*104 S5=1++++ = 按 ?=*103，將 S5舍入為 167。 6 誤差分配原則與處理方法 0 0 ...1...2111555???????ny例 :求 的值，總誤差要求為 441n84 ? 4. 數(shù)值字長已定，待定近似式項數(shù) !...!3!2132nxxxxU n??????近似 ex，若各項結(jié)果均截取至小數(shù)后 5位，試確定該取幾項？ ?例 :對于 0≤x1 ，計算 ex時，利用 ex的泰勒展開式的部分和 ? 解 ： )10()!1(3)!1()( 1 ?????? ? ??nxnexR nxn初取 n=3,則有 R3(x)3/4!=, ?3=3*(*105)= 167。 6 誤差分配原則與處理方法 85 因為 R3(x) ?3,再取 n=6,有 R6(x)3/7!=， ?6=6*(*105)= 因為 R6(x) ?6,增大至 n=7,有 R7(x)3/8!=， ?7=7*(*105)= 這時 R7(x) ? ?7， 所以應(yīng)取 8項進(jìn)行計算為宜 167。 6 誤差分配原則與處理方法 !...!3!2132nxxxxU n??????近似 ex，若各項結(jié)果均截取至小數(shù)后 5位，試確定該取幾項？ ? 例 對于 0≤x1 ，計算 ex時，利用 ex的泰勒展開式的部分和 86 ?絕對誤差 ? 設(shè) A是精確值， a是近似值，則定義兩者之差 ?=aA為近似數(shù) a的絕對誤差 ?絕對誤差限 ? |?|=|aA|?(上界 )，稱為絕對誤差限 ?相對誤差 ? 絕對誤差與精確值之比 ?A= ?/A為相對誤差 ?相對誤差限 |?A|=|?/A|η (上界 )， 稱為相對誤差限 ?絕對誤差和相對誤差有關(guān)系： ?=a ?A 本章總結(jié) 87 ?有效數(shù)字 同一精確值的不同近似值，有效數(shù)字越多，它的絕對誤差和相對誤差就越小 由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字 ?算術(shù)運(yùn)算中的誤差 明確數(shù)據(jù)誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播規(guī)律并對結(jié)果誤差進(jìn)行估計 ?誤差的種類及處理 方法 本章總結(jié) ? = R+? R?? 88 作業(yè) 習(xí)題一 1,2,3,4,1